Analysis Beispiele

y = x^{2} + x

$y = x^{2} + x$ ,

y = x + 9

$y = x + 9$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

x^{2} + x = x + 9

$x^{2} + x = x + 9$

Schritt 1.2

Löse

x^{2} + x = x + 9

$x^{2} + x = x + 9$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die

x

$x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere

x

$x$ von beiden Seiten der Gleichung.

x^{2} + x - x = 9

$x^{2} + x - x = 9$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

x^{2} + x - x

$x^{2} + x - x$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Subtrahiere

x

$x$ von

x

$x$ .

x^{2} + 0 = 9

$x^{2} + 0 = 9$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere

x^{2}

$x^{2}$ und

0

$0$ .

x^{2} = 9

$x^{2} = 9$

x^{2} = 9

$x^{2} = 9$

x^{2} = 9

$x^{2} = 9$

Schritt 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{9}

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache

\pm \sqrt{9}

$\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

x = \pm \sqrt{3^{2}}

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

x = \pm 3

$x = \pm 3$

x = \pm 3

$x = \pm 3$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

x = 3

$x = 3$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

x = - 3

$x = - 3$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

x = 3, - 3

$x = 3, - 3$

x = 3, - 3

$x = 3, - 3$

x = 3, - 3

$x = 3, - 3$

Schritt 1.3

Berechne

y

$y$ bei

x = 3

$x = 3$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze

x

$x$ durch

3

$3$ .

y = (3) + 9

$y = (3) + 9$

Schritt 1.3.2

Setze

3

$3$ für

x

$x$ in

y = (3) + 9

$y = (3) + 9$ ein, löse dann nach

y

$y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

y = 3 + 9

$y = 3 + 9$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

y = (3) + 9

$y = (3) + 9$

Schritt 1.3.2.3

Addiere

3

$3$ und

9

$9$ .

y = 12

$y = 12$

y = 12

$y = 12$

y = 12

$y = 12$

Schritt 1.4

Berechne

y

$y$ bei

x = - 3

$x = - 3$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze

x

$x$ durch

- 3

$- 3$ .

y = (- 3) + 9

$y = (- 3) + 9$

Schritt 1.4.2

Setze

- 3

$- 3$ für

x

$x$ in

y = (- 3) + 9

$y = (- 3) + 9$ ein, löse dann nach

y

$y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

y = - 3 + 9

$y = - 3 + 9$

Schritt 1.4.2.2

Entferne die Klammern.

y = (- 3) + 9

$y = (- 3) + 9$

Schritt 1.4.2.3

Addiere

- 3

$- 3$ und

9

$9$ .

y = 6

$y = 6$

y = 6

$y = 6$

y = 6

$y = 6$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

(3, 12)

$(3, 12)$

(- 3, 6)

$(- 3, 6)$

(3, 12)

$(3, 12)$

(- 3, 6)

$(- 3, 6)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

A r e a = \int_{- 3}^{3} x + 9 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} + x d x

$A r e a = \int_{- 3}^{3} x + 9 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} + x d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen

- 3

$- 3$ und

3

$3$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

\int_{- 3}^{3} x + 9 - (x^{2} + x) d x

$\int_{- 3}^{3} x + 9 - (x^{2} + x) d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

\int_{- 3}^{3} x + 9 - x^{2} - x d x

$\int_{- 3}^{3} x + 9 - x^{2} - x d x$

Schritt 3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

x + 9 - x^{2} - x

$x + 9 - x^{2} - x$ .

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere

x

$x$ von

x

$x$ .

9 - x^{2} + 0

$9 - x^{2} + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere

9 - x^{2}

$9 - x^{2}$ und

0

$0$ .

9 - x^{2}

$9 - x^{2}$

\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x

$\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

\int_{- 3}^{3} 9 d x + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x

$\int_{- 3}^{3} 9 d x + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x$

Schritt 3.5

Wende die Konstantenregel an.

9 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x

$9 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x$

Schritt 3.6

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ziehe

- 1

$- 1$ aus dem Integral.

9 x]_{- 3}^{3} - \int_{- 3}^{3} x^{2} d x

$9 x]_{- 3}^{3} - \int_{- 3}^{3} x^{2} d x$

Schritt 3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von

x^{2}

$x^{2}$ nach

x

$x$ gleich

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3})

$9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3})$

Schritt 3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.8.1

Kombiniere

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ und

x^{3}

$x^{3}$ .

9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})

$9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})$

Schritt 3.8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.8.2.1

Berechne

9 x

$9 x$ bei

3

$3$ und

- 3

$- 3$ .

(9 \cdot 3) - 9 \cdot - 3 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})

$(9 \cdot 3) - 9 \cdot - 3 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})$

Schritt 3.8.2.2

Berechne

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ bei

3

$3$ und

- 3

$- 3$ .

9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.8.2.3.1

Mutltipliziere

9

$9$ mit

3

$3$ .

27 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$27 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.2

Mutltipliziere

- 9

$- 9$ mit

- 3

$- 3$ .

27 + 27 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$27 + 27 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.3

Addiere

27

$27$ und

27

$27$ .

54 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.4

Potenziere

3

$3$ mit

3

$3$ .

54 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von

27

$27$ und

3

$3$ .

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Schritt 3.8.2.3.5.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

27

$27$ heraus.

54 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.2.3.5.2.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

3

$3$ heraus.

54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

54 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.5.2.4

Dividiere

9

$9$ durch

1

$1$ .

54 - (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

54 - (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

54 - (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.6

Potenziere

- 3

$- 3$ mit

3

$3$ .

54 - (9 - \frac{- 27}{3})

$54 - (9 - \frac{- 27}{3})$

Schritt 3.8.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 27

$- 27$ und

3

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.3.7.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

- 27

$- 27$ heraus.

54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3})

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Schritt 3.8.2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.3.7.2.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

3

$3$ heraus.

54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Schritt 3.8.2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Schritt 3.8.2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

54 - (9 - \frac{- 9}{1})

$54 - (9 - \frac{- 9}{1})$

Schritt 3.8.2.3.7.2.4

Dividiere

- 9

$- 9$ durch

1

$1$ .

54 - (9 - - 9)

$54 - (9 - - 9)$

54 - (9 - - 9)

$54 - (9 - - 9)$

54 - (9 - - 9)

$54 - (9 - - 9)$

Schritt 3.8.2.3.8

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 9

$- 9$ .

54 - (9 + 9)

$54 - (9 + 9)$

Schritt 3.8.2.3.9

Addiere

9

$9$ und

9

$9$ .

54 - 1 \cdot 18

$54 - 1 \cdot 18$

Schritt 3.8.2.3.10

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

18

$18$ .

54 - 18

$54 - 18$

Schritt 3.8.2.3.11

Subtrahiere

18

$18$ von

54

$54$ .

36

$36$

36

$36$

36

$36$

36

$36$

36

$36$

Schritt 4

Gib DEINE Aufgabe ein