Analysis Beispiele

$y = x^{2} + x$ , $y = x + 2$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} + x = x + 2$

Schritt 1.2

Löse $x^{2} + x = x + 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - x = 2$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + x - x$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$x^{2} + 0 = 2$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} = 2$

Schritt 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 1.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 1.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = \sqrt{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{2}$ .

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Schritt 1.3.2

Setze $\sqrt{2}$ für $x$ in $y = (\sqrt{2}) + 2$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \sqrt{2} + 2$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Schritt 1.3.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \sqrt{2} + 2$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = - \sqrt{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $- \sqrt{2}$ .

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Schritt 1.4.2

Setze $- \sqrt{2}$ für $x$ in $y = (- \sqrt{2}) + 2$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Schritt 1.4.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Schritt 1.4.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} + x d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- \sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - (x^{2} + x) d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - x^{2} - x d x$

Schritt 3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - x^{2} - x$ .

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$2 - x^{2} + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 - x^{2}$ und $0$ .

$2 - x^{2}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 - x^{2} d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Schritt 3.5

Wende die Konstantenregel an.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x$

Schritt 3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Schritt 3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Schritt 3.8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.8.2.1

Berechne $2 x$ bei $\sqrt{2}$ und $- \sqrt{2}$ .

$(2 \sqrt{2}) - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Schritt 3.8.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $\sqrt{2}$ und $- \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.8.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.2

Addiere $2 \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2}$ heraus.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.6

Wende die Produktregel auf $- (\sqrt{2})$ an.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.12

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{8}}{3}$ mit $1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3})$

Schritt 3.8.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3}$

Schritt 3.8.2.3.14

Addiere $\sqrt{8}$ und $\sqrt{8}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{8}}{3}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache.

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Schritt 3.8.3.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.8.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{4 (2)}}{3}$

Schritt 3.8.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Schritt 3.8.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 (2 \sqrt{2})}{3}$

Schritt 3.8.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 3.8.3.4

Um $4 \sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 3.8.3.5

Kombiniere $4 \sqrt{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 3.8.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 3.8.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 3.8.3.8

Subtrahiere $4 \sqrt{2}$ von $12 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Dezimalform:

$3.77123616 \dots$

Schritt 5

Gib DEINE Aufgabe ein