Analysis Beispiele

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

Schritt 1

Schreibe $y = {(x + 3)}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 2

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

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Schritt 2.1

Berechne $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Addiere $1$ und $3$ .

$f (1) = 4^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (1) = 16$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $16$ .

$16$

Schritt 2.2

Da $16 = 16$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 3

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

$m$ $=$ Die Ableitung von $f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 4

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 5

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 5.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Schreibe ${(x + h + 3)}^{2}$ als $(x + h + 3) (x + h + 3)$ um.

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

Schritt 5.1.2.2

Multipliziere $(x + h + 3) (x + h + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Schritt 5.1.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Schritt 5.1.2.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Schritt 5.1.2.3.3

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Schritt 5.1.2.3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Schritt 5.1.2.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Schritt 5.1.2.4

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 5.1.2.4.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Schritt 5.1.2.4.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Schritt 5.1.2.5

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

Schritt 5.1.2.6

Addiere $3 h$ und $3 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Schritt 5.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Schritt 5.2

Stelle um.

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Schritt 5.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Schritt 5.2.2

Stelle $2 h x$ und $h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Schritt 5.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Schritt 6

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

Schritt 7.1.4

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Schritt 7.1.6

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

Schritt 7.1.7

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Schritt 7.1.8

Addiere $h^{2} + 2 h x + 6 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Schritt 7.1.9

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} + 2 h x + 6 h$ heraus.

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Schritt 7.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Schritt 7.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $2 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Schritt 7.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $6 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Schritt 7.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $h (h) + h (2 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Schritt 7.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $h (h + 2 x) + h \cdot 6$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $h + 2 x + 6$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

Schritt 7.2.2

Stelle $h$ und $2 x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$2 x + 0 + 6$

Schritt 10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x + 6$

Schritt 11

Vereinfache $2 (1) + 6$ .

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = 2 + 6$

Schritt 11.2

Addiere $2$ und $6$ .

$m = 8$

Schritt 12

Die Steigung ist $m = 8$ und der Punkt ist $(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

Schritt 13

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 13.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 13.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (8) \cdot x + b$

Schritt 13.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (8) \cdot (1) + b$

Schritt 13.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

Schritt 13.5

Ermittele den Wert von $b$ .

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Schritt 13.5.1

Schreibe die Gleichung als $(8) \cdot (1) + b = 16$ um.

$(8) \cdot (1) + b = 16$

Schritt 13.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + b = 16$

Schritt 13.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.5.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = 16 - 8$

Schritt 13.5.3.2

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$b = 8$

Schritt 14

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = 8 x + 8$

Schritt 15

Gib DEINE Aufgabe ein