Analysis Beispiele

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(1, 7)$

Schritt 1

Schreibe $y = 3 x^{3} + x + 3$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Schritt 2

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

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Schritt 2.1

Berechne $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = 3 + 1 + 3$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.1.2.3.1

Addiere $3$ und $1$ .

$f (1) = 4 + 3$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f (1) = 7$

Schritt 2.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 2.2

Da $7 = 7$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 3

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

$m$ $=$ Die Ableitung von $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Schritt 4

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 5

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 5.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Schritt 5.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

Schritt 5.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Schritt 5.1.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.2.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Schritt 5.1.2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Schritt 5.1.2.2.4

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Schritt 5.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ .

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Schritt 5.2

Stelle um.

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Schritt 5.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Schritt 5.2.2

Bewege $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + x + h + 3$

Schritt 5.2.3

Bewege $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + h + x + 3$

Schritt 5.2.4

Bewege $3 x^{3}$ .

$9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Schritt 5.2.5

Bewege $9 h x^{2}$ .

$9 h^{2} x + 3 h^{3} + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Schritt 5.2.6

Stelle $9 h^{2} x$ und $3 h^{3}$ um.

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Schritt 5.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Schritt 6

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $3 x^{3}$ von $3 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 + 0 - x - 3}{h}$

Schritt 7.1.4

Addiere $3 h^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 - x - 3}{h}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0 + 3 - 3}{h}$

Schritt 7.1.6

Addiere $3 h^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 3 - 3}{h}$

Schritt 7.1.7

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0}{h}$

Schritt 7.1.8

Addiere $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Schritt 7.1.9

Faktorisiere $h$ aus $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ heraus.

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Schritt 7.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $3 h^{3}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Schritt 7.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $9 h^{2} x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + 9 h x^{2} + h}{h}$

Schritt 7.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $9 h x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Schritt 7.1.9.4

Potenziere $h$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Schritt 7.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $h^{1}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 7.1.9.6

Faktorisiere $h$ aus $h (3 h^{2}) + h (9 h x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 7.1.9.7

Faktorisiere $h$ aus $h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Schritt 7.1.9.8

Faktorisiere $h$ aus $h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.1

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 x h + 9 x^{2} + 1$

Schritt 7.2.2.2

Bewege $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x h + 9 x^{2} + 3 h^{2} + 1$

Schritt 7.2.2.3

Stelle $9 x h$ und $9 x^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $9 x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 10

Ziehe den Term $9 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 11

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Multipliziere $9 x \cdot 0$ .

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Schritt 15.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $9$ .

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Schritt 15.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Schritt 15.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

Schritt 15.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 x^{2} + 0 + 0 + 1$ .

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Schritt 15.2.1

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 1$

Schritt 15.2.2

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$9 x^{2} + 1$

Schritt 16

Bestimme die Steigung $m$ . In diesem Fall: $m = 10$ .

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Schritt 16.1

Entferne die Klammern.

$m = 9 \cdot 1^{2} + 1$

Schritt 16.2

Vereinfache $9 \cdot 1^{2} + 1$ .

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$m = 9 \cdot 1 + 1$

Schritt 16.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$m = 9 + 1$

Schritt 16.2.2

Addiere $9$ und $1$ .

$m = 10$

Schritt 17

Die Steigung ist $m = 10$ und der Punkt ist $(1, 7)$ .

$m = 10, (1, 7)$

Schritt 18

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 18.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 18.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (10) \cdot x + b$

Schritt 18.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (10) \cdot (1) + b$

Schritt 18.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$7 = (10) \cdot (1) + b$

Schritt 18.5

Ermittele den Wert von $b$ .

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Schritt 18.5.1

Schreibe die Gleichung als $(10) \cdot (1) + b = 7$ um.

$(10) \cdot (1) + b = 7$

Schritt 18.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 + b = 7$

Schritt 18.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 18.5.3.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = 7 - 10$

Schritt 18.5.3.2

Subtrahiere $10$ von $7$ .

$b = - 3$

Schritt 19

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = 10 x - 3$

Schritt 20

Gib DEINE Aufgabe ein