Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 10 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 10 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 20 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x^{3} - 20 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{3}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 x$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $60 x^{2} - 20$ .

$60 x^{2} - 20$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $60 x^{2} - 20 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$60 x^{2} - 20 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$60 x^{2} = 20$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $60 x^{2} = 20$ durch $60$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $60 x^{2} = 20$ durch $60$ .

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{20}{60}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $60$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{20}{60}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{20}{60}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $60$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $20$ aus $20$ heraus.

$x^{2} = \frac{20 (1)}{60}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $20$ aus $60$ heraus.

$x^{2} = \frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 3.1.2.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{81}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $81$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 (1)}{81}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{1}{9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.5

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{3}{9})$

Schritt 3.1.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 3.1.2.1.9.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 (1)}{9}$

Schritt 3.1.2.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.2.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.2.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{1}{3})$

Schritt 3.1.2.1.10

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} + \frac{- 10}{3}$

Schritt 3.1.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3}$

Schritt 3.1.2.2

Um $- \frac{10}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{9}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 10 \cdot 3}{9}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 30}{9}$

Schritt 3.1.2.5.2

Subtrahiere $30$ von $5$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 25}{9}$

Schritt 3.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{25}{9}$

Schritt 3.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{25}{9}$ .

$- \frac{25}{9}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

Schritt 3.3

Ersetze $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 3.3.2.1.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{81}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $81$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.6.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 (1)}{81}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.6.2.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{1}{9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.7

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.8.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

Schritt 3.3.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

Schritt 3.3.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.11

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.2.1.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.11.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.12

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{3}{9})$

Schritt 3.3.2.1.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 3.3.2.1.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 (1)}{9}$

Schritt 3.3.2.1.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.1.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.1.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{1}{3})$

Schritt 3.3.2.1.14

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} + \frac{- 10}{3}$

Schritt 3.3.2.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Um $- \frac{10}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{9}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 10 \cdot 3}{9}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 30}{9}$

Schritt 3.3.2.5.2

Subtrahiere $30$ von $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 25}{9}$

Schritt 3.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{25}{9}$

Schritt 3.3.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{25}{9}$ .

$- \frac{25}{9}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.67735026$ .

$f'' (- 0.67735026) = 60 {(- 0.67735026)}^{2} - 20$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.67735026$ mit $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 60 \cdot 0.45880338 - 20$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 27.52820323 - 20$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $20$ von $27.52820323$ .

$f'' (- 0.67735026) = 7.52820323$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $7.52820323$ .

$7.52820323$

Schritt 5.3

Bei $- 0.67735026$ ist die zweite Ableitung $7.52820323$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 60 {(0)}^{2} - 20$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 60 \cdot 0 - 20$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 20$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $20$ von $0$ .

$f'' (0) = - 20$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 20$ .

$- 20$

Schritt 6.3

Bei $0$ , die zweite Ableitung ist $- 20$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.67735026$ .

$f'' (0.67735026) = 60 {(0.67735026)}^{2} - 20$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.67735026$ mit $2$ .

$f'' (0.67735026) = 60 \cdot 0.45880338 - 20$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 27.52820323 - 20$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $20$ von $27.52820323$ .

$f'' (0.67735026) = 7.52820323$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $7.52820323$ .

$7.52820323$

Schritt 7.3

Bei $0.67735026$ ist die zweite Ableitung $7.52820323$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

Schritt 9

Gib DEINE Aufgabe ein