Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Berechne

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2 x^{3}$ nach

$x$ gleich

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 3$ .

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$2$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

$- 8$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 8 x$ nach

$x$ gleich

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere

$- 8$ mit

$1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

$1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$1$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ und

$0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.2.2

Berechne

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

$4$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$4 x^{3}$ nach

$x$ gleich

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.2.3

Berechne

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

$6$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$6 x^{2}$ nach

$x$ gleich

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 2$ .

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$6$ .

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.4.1

$- 8$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 8$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$12 x^{2} + 12 x + 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere

$12 x^{2} + 12 x$ und

$0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von

$f (x)$ nach

$x$ ist

$12 x^{2} + 12 x$ .

$12 x^{2} + 12 x$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich

$0$ , dann löse die Gleichung

$12 x^{2} + 12 x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich

$0$ .

$12 x^{2} + 12 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere

$12 x$ aus

$12 x^{2} + 12 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere

$12 x$ aus

$12 x^{2}$ heraus.

$12 x (x) + 12 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere

$12 x$ aus

$12 x$ heraus.

$12 x (x) + 12 x (1) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere

$12 x$ aus

$12 x (x) + 12 x (1)$ heraus.

$12 x (x + 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze

$x$ gleich

$0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze

$x + 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze

$x + 1$ gleich

$0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$12 x (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich

$0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze

$0$ in

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ , um den Wert von

$y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Schritt 3.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere

$- 8$ mit

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Addiere

$0$ und

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere

$0$ und

$0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Schritt 3.1.2.2.3

Addiere

$0$ und

$1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist

$1$ .

$1$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von

$0$ in

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ ermittelt werden kann, ist

$(0, 1)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 1)$

Schritt 3.3

Ersetze

$- 1$ in

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ , um den Wert von

$y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere

$- 1$ mit

$4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere

$- 1$ mit

$3$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1 + 1$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 - 8 \cdot - 1 + 1$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere

$- 8$ mit

$- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 8 + 1$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere

$2$ von

$1$ .

$f (- 1) = - 1 + 8 + 1$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere

$- 1$ und

$8$ .

$f (- 1) = 7 + 1$

Schritt 3.3.2.2.3

Addiere

$7$ und

$1$ .

$f (- 1) = 8$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist

$8$ .

$8$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von

$- 1$ in

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ ermittelt werden kann, ist

$(- 1, 8)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1, 8)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 1), (- 1, 8)$

Schritt 4

Teile

$(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 12 (- 1.1)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere

$- 1.1$ mit

$2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 12 (- 1.1)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere

$12$ mit

$1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 12 (- 1.1)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere

$12$ mit

$- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 13.2$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere

$13.2$ von

$14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 1.32$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist

$1.32$ .

$1.32$

Schritt 5.3

Bei

$- 1.1$ ist die zweite Ableitung

$1.32$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall

$(- \infty, - 1)$ .

Ansteigend im Intervall

$(- \infty, - 1)$ , da

$f'' (x) > 0$

Ansteigend im Intervall

$(- \infty, - 1)$ , da

$f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(- 1, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Wende die Exponentenregel

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf

$- \frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf

$\frac{1}{2}$ an.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit

$1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$4$ .

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Schritt 6.2.1.6.1

Faktorisiere

$4$ aus

$12$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 6.2.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 6.2.1.7.2

Faktorisiere

$2$ aus

$12$ heraus.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 (6) (\frac{- 1}{2})$

Schritt 6.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (6 (\frac{- 1}{2}))$

Schritt 6.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 6 \cdot - 1$

Schritt 6.2.1.8

Mutltipliziere

$6$ mit

$- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 - 6$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere

$6$ von

$3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist

$- 3$ .

$- 3$

Schritt 6.3

Bei

$- \frac{1}{2}$ , die zweite Ableitung ist

$- 3$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall

$(- 1, 0)$

Abfallend im Intervall

$(- 1, 0)$ da

$f'' (x) < 0$

Abfallend im Intervall

$(- 1, 0)$ da

$f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$0.1$ .

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere

$0.1$ mit

$2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere

$12$ mit

$0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 12 (0.1)$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere

$12$ mit

$0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 1.2$

Schritt 7.2.2

Addiere

$0.12$ und

$1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.32$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist

$1.32$ .

$1.32$

Schritt 7.3

Bei

$0.1$ ist die zweite Ableitung

$1.32$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall

$(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall

$(0, \infty)$ , da

$f'' (x) > 0$

Ansteigend im Intervall

$(0, \infty)$ , da

$f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte

$(- 1, 8), (0, 1)$ .

$(- 1, 8), (0, 1)$

Schritt 9

Gib DEINE Aufgabe ein