Analysis Beispiele

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 1

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 1$ ,

[- 3, 2]

$[- 3, 2]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x^{3} - 3 x^{2} - 1

$x^{3} - 3 x^{2} - 1$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

$- 3$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 3 x^{2}$ nach

$x$ gleich

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.3.1

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 1$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere

$3 x^{2} - 6 x$ und

$0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von

$f (x)$ nach

$x$ ist

$3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich

$0$ , dann löse die Gleichung

$3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich

$0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere

$3 x$ aus

$3 x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere

$3 x$ aus

$3 x^{2}$ heraus.

$3 x (x) - 6 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere

$3 x$ aus

$- 6 x$ heraus.

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere

$3 x$ aus

$3 x (x) + 3 x (- 2)$ heraus.

$3 x (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze

$x$ gleich

$0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze

$x - 2$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze

$x - 2$ gleich

$0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$3 x (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte

$x^{3} - 3 x^{2} - 1$ an jeden

$x$ Wert aus, wo die Ableitung

$0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei

$x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze

$x$ durch

$0$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 1$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$0 - 3 \cdot 0 - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$0$ .

$0 + 0 - 1$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Addiere

$0$ und

$0$ .

$0 - 1$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Subtrahiere

$1$ von

$0$ .

$- 1$

Schritt 1.4.2

Berechne bei

$x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze

$x$ durch

$2$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 1$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere

$2$ mit

$3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$8 - 3 \cdot 4 - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$4$ .

$8 - 12 - 1$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Subtrahiere

$12$ von

$8$ .

$- 4 - 1$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Subtrahiere

$1$ von

$- 4$ .

$- 5$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, - 1), (2, - 5)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei

$x = - 3$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze

$x$ durch

$- 3$ .

${(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 1$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Potenziere

$- 3$ mit

$3$ .

$- 27 - 3 {(- 3)}^{2} - 1$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere

$- 3$ mit

${(- 3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

${(- 3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.2.1.1

Potenziere

$- 3$ mit

$1$ .

$- 27 + {(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 1$

Schritt 2.1.2.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 27 + {(- 3)}^{1 + 2} - 1$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Addiere

$1$ und

$2$ .

$- 27 + {(- 3)}^{3} - 1$

Schritt 2.1.2.1.3

Potenziere

$- 3$ mit

$3$ .

$- 27 - 27 - 1$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Subtrahiere

$27$ von

$- 27$ .

$- 54 - 1$

Schritt 2.1.2.2.2

Subtrahiere

$1$ von

$- 54$ .

$- 55$

Schritt 2.2

Berechne bei

$x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze

$x$ durch

$2$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Potenziere

$2$ mit

$3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} - 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$8 - 3 \cdot 4 - 1$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$4$ .

$8 - 12 - 1$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Subtrahiere

$12$ von

$8$ .

$- 4 - 1$

Schritt 2.2.2.2.2

Subtrahiere

$1$ von

$- 4$ .

$- 5$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 3, - 55), (2, - 5)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von

$x$ gefundenen

$f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten

$f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten

$f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum:

$(0, - 1)$

Absolutes Minimum:

$(- 3, - 55)$

Schritt 4

Gib DEINE Aufgabe ein