Analysis Beispiele

$y = x^{2} + 3 x - 9$ ,

$(3, 9)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei

$x = 3$ und

$y = 9$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x^{2} + 3 x - 9$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2

Berechne

$\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.2.1

$3$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$3 x$ nach

$x$ gleich

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$1$ .

$2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

$- 9$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 9$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$2 x + 3 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere

$2 x + 3$ und

$0$ .

$2 x + 3$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei

$x = 3$ .

$2 (3) + 3$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$3$ .

$6 + 3$

Schritt 1.5.2

Addiere

$6$ und

$3$ .

$9$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für

$y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung

$9$ und einen gegebenen Punkt

$(3, 9)$ , um

$x_{1}$ und

$y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (9) = 9 \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 9 = 9 \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach

$y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache

$9 \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 9 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 9 = 9 \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = 9 x + 9 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere

$9$ mit

$- 3$ .

$y - 9 = 9 x - 27$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht

$y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere

$9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9 x - 27 + 9$

Schritt 2.3.2.2

Addiere

$- 27$ und

$9$ .

$y = 9 x - 18$

Schritt 3

Gib DEINE Aufgabe ein