Analysis Beispiele

$y = 3 x^{3} + 4 x + 5$ , $(2, 37)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 37$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + 4 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$9 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 x^{2} + 4 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $9 x^{2} + 4$ und $0$ .

$9 x^{2} + 4$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$9 {(2)}^{2} + 4$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$9 \cdot 4 + 4$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$36 + 4$

Schritt 1.6.2

Addiere $36$ und $4$ .

$40$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $40$ und einen gegebenen Punkt $(2, 37)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (37) = 40 \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 37 = 40 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $40 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 37 = 0 + 0 + 40 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 37 = 40 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 37 = 40 x + 40 \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $40$ mit $- 2$ .

$y - 37 = 40 x - 80$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $37$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 40 x - 80 + 37$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 80$ und $37$ .

$y = 40 x - 43$

Schritt 3

Gib DEINE Aufgabe ein