Analysis Beispiele

f (x) = x^{4} - 6

$f (x) = x^{4} - 6$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x^{4} - 6

$x^{4} - 6$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 4

$n = 4$ .

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.3

- 6

$- 6$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

- 6

$- 6$ bezüglich

x

$x$ gleich

0

$0$ .

4 x^{3} + 0

$4 x^{3} + 0$

Schritt 1.1.4

Addiere

4 x^{3}

$4 x^{3}$ und

0

$0$ .

f' (x) = 4 x^{3}

$f' (x) = 4 x^{3}$

f' (x) = 4 x^{3}

$f' (x) = 4 x^{3}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von

f (x)

$f (x)$ nach

x

$x$ ist

4 x^{3}

$4 x^{3}$ .

4 x^{3}

$4 x^{3}$

4 x^{3}

$4 x^{3}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich

0

$0$ , dann löse die Gleichung

4 x^{3} = 0

$4 x^{3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich

0

$0$ .

4 x^{3} = 0

$4 x^{3} = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in

4 x^{3} = 0

$4 x^{3} = 0$ durch

4

$4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

4 x^{3} = 0

$4 x^{3} = 0$ durch

4

$4$ .

\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

4

$4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere

$x^{3}$ durch

$1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere

$0$ durch

$4$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.4

Vereinfache

$\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe

$0$ als

$0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.4.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich

$0$ machen, sind

$0$ .

$0$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung

$f' (x) = 4 x^{3}$ gleich

$0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo

$f (x) = x^{4} - 6$ ansteigt und abfällt, gleich

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 1$ .

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Potenziere

$- 1$ mit

$3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 1$ .

$f' (- 1) = - 4$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist

$- 4$ .

$- 4$

Schritt 5.3

Bei

$x = - 1$ ist die Ableitung

$- 4$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall

$(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall

$(- \infty, 0)$ da

$f' (x) < 0$

Abfallend im Intervall

$(- \infty, 0)$ da

$f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$1$ .

$f' (1) = 4 {(1)}^{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 4 \cdot 1$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$f' (1) = 4$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist

$4$ .

$4$

Schritt 6.3

Bei

$x = 1$ ist die Ableitung

$4$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall

$(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall

$(0, \infty)$ , da

$f' (x) > 0$

Ansteigend im Intervall

$(0, \infty)$ , da

$f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall:

$(0, \infty)$

Abfallend im Intervall:

$(- \infty, 0)$

Schritt 8

Gib DEINE Aufgabe ein