Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 36$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x^{4} - 12 x^{2} + 36$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Schritt 1.1.2

Berechne

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

$- 12$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 12 x^{2}$ nach

$x$ gleich

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 12$ .

$4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

$36$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$36$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$4 x^{3} - 24 x + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere

$4 x^{3} - 24 x$ und

$0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von

$f (x)$ nach

$x$ ist

$4 x^{3} - 24 x$ .

$4 x^{3} - 24 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich

$0$ , dann löse die Gleichung

$4 x^{3} - 24 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich

$0$ .

$4 x^{3} - 24 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere

$4 x$ aus

$4 x^{3} - 24 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere

$4 x$ aus

$4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 24 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere

$4 x$ aus

$- 24 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere

$4 x$ aus

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.4

Setze

$x$ gleich

$0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze

$x^{2} - 6$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze

$x^{2} - 6$ gleich

$0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse

$x^{2} - 6 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere

$6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 6$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{6}$

Schritt 2.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{6}$

Schritt 2.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{6}$

Schritt 2.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$4 x (x^{2} - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich

$0$ machen, sind

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Schritt 4

Teile

$(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die

$x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich

$0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(- \infty, - \sqrt{6})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 3.4494898$ .

$f' (- 3.4494898) = 4 {(- 3.4494898)}^{3} - 24 \cdot - 3.4494898$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere

$- 3.4494898$ mit

$3$ .

$f' (- 3.4494898) = 4 \cdot - 41.04540972 - 24 \cdot - 3.4494898$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 41.04540972$ .

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 - 24 \cdot - 3.4494898$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere

$- 24$ mit

$- 3.4494898$ .

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552$

Schritt 5.2.2

Addiere

$- 164.18163891$ und

$82.7877552$ .

$f' (- 3.4494898) = - 81.39388371$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist

$- 81.39388371$ .

$- 81.39388371$

Schritt 5.3

Bei

$x = - 3.4494898$ ist die Ableitung

$- 81.39388371$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall

$(- \infty, - \sqrt{6})$ ab.

Abfallend im Intervall

$(- \infty, - \sqrt{6})$ da

$f' (x) < 0$

Abfallend im Intervall

$(- \infty, - \sqrt{6})$ da

$f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(- 2.4494898, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 1.2247449$ .

$f' (- 1.2247449) = 4 {(- 1.2247449)}^{3} - 24 \cdot - 1.2247449$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere

$- 1.2247449$ mit

$3$ .

$f' (- 1.2247449) = 4 \cdot - 1.83711743 - 24 \cdot - 1.2247449$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 1.83711743$ .

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 - 24 \cdot - 1.2247449$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere

$- 24$ mit

$- 1.2247449$ .

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776$

Schritt 6.2.2

Addiere

$- 7.34846974$ und

$29.3938776$ .

$f' (- 1.2247449) = 22.04540785$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist

$22.04540785$ .

$22.04540785$

Schritt 6.3

Bei

$x = - 1.2247449$ ist die Ableitung

$22.04540785$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall

$(- 2.4494898, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall

$(- \sqrt{6}, 0)$ , da

$f' (x) > 0$

Ansteigend im Intervall

$(- \sqrt{6}, 0)$ , da

$f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(0, \sqrt{6})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$1.2247449$ .

$f' (1.2247449) = 4 {(1.2247449)}^{3} - 24 \cdot 1.2247449$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere

$1.2247449$ mit

$3$ .

$f' (1.2247449) = 4 \cdot 1.83711743 - 24 \cdot 1.2247449$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$1.83711743$ .

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 24 \cdot 1.2247449$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere

$- 24$ mit

$1.2247449$ .

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere

$29.3938776$ von

$7.34846974$ .

$f' (1.2247449) = - 22.04540785$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist

$- 22.04540785$ .

$- 22.04540785$

Schritt 7.3

Bei

$x = 1.2247449$ ist die Ableitung

$- 22.04540785$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall

$(0, \sqrt{6})$ ab.

Abfallend im Intervall

$(0, \sqrt{6})$ da

$f' (x) < 0$

Abfallend im Intervall

$(0, \sqrt{6})$ da

$f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall

$(\sqrt{6}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$3.4494898$ .

$f' (3.4494898) = 4 {(3.4494898)}^{3} - 24 \cdot 3.4494898$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere

$3.4494898$ mit

$3$ .

$f' (3.4494898) = 4 \cdot 41.04540972 - 24 \cdot 3.4494898$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$41.04540972$ .

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 24 \cdot 3.4494898$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere

$- 24$ mit

$3.4494898$ .

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere

$82.7877552$ von

$164.18163891$ .

$f' (3.4494898) = 81.39388371$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist

$81.39388371$ .

$81.39388371$

Schritt 8.3

Bei

$x = 3.4494898$ ist die Ableitung

$81.39388371$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall

$(\sqrt{6}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall

$(\sqrt{6}, \infty)$ , da

$f' (x) > 0$

Ansteigend im Intervall

$(\sqrt{6}, \infty)$ , da

$f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall:

$(- \sqrt{6}, 0), (\sqrt{6}, \infty)$

Abfallend im Intervall:

$(- \infty, - \sqrt{6}), (0, \sqrt{6})$

Schritt 10

Gib DEINE Aufgabe ein