Analysis Beispiele

y = x^{2} - 5 x + 6

$y = x^{2} - 5 x + 6$

Schritt 1

Stelle

y

$y$ als Funktion von

x

$x$ auf.

f (x) = x^{2} - 5 x + 6

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x^{2} - 5 x + 6

$x^{2} - 5 x + 6$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$

2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.2

Berechne

\frac{d}{d x} [- 5 x]

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 2.2.1

$- 5$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 5 x$ nach

$x$ gleich

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere

$- 5$ mit

$1$ .

$2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

$6$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$6$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$2 x - 5 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere

$2 x - 5$ und

$0$ .

$2 x - 5$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich

$0$ , dann löse die Gleichung

$2 x - 5 = 0$ .

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Schritt 3.1

Addiere

$5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in

$2 x = 5$ durch

$2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$2 x = 5$ durch

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ bei

$x = \frac{5}{2}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = {(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf

$\frac{5}{2}$ an.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere

$5$ mit

$2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere

$- 5 (\frac{5}{2})$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Kombiniere

$- 5$ und

$\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 6$

Schritt 4.2.1.4.2

Mutltipliziere

$- 5$ mit

$5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 6$

Schritt 4.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6$

Schritt 4.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere

$\frac{25}{2}$ mit

$\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 6$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere

$\frac{25}{2}$ mit

$\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 6$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe

$6$ als einen Bruch mit dem Nenner

$1$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1}$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere

$\frac{6}{1}$ mit

$\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere

$\frac{6}{1}$ mit

$\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.2.2.6

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 + 6 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere

$- 25$ mit

$2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 6 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere

$6$ mit

$4$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 24}{4}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere

$50$ von

$25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 24}{4}$

Schritt 4.2.5.2

Addiere

$- 25$ und

$24$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist

$- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ ist

$y = - \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Schritt 6

Gib DEINE Aufgabe ein