Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - \sin (2 x)}{x - \sin (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) - \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$x$ sich an

$0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.5

Ziehe den Term

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von

$0$ für alle

$x$ .

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Schritt 1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{2 \sin (0) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{2 \sin (0) - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.1.1

Der genau Wert von

$\sin (0)$ ist

$0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.7.1.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$0$ .

$\frac{0 - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.7.1.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.7.1.4

Der genau Wert von

$\sin (0)$ ist

$0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.7.1.5

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.2.7.2

Addiere

$0$ und

$0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$x$ sich an

$0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von

$0$ für alle

$x$ .

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Schritt 1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.3.2

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.1

Der genau Wert von

$\sin (0)$ ist

$0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Schritt 1.3.4.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.3.4.2

Addiere

$0$ und

$0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

$\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - \sin (2 x)}{x - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$2 \sin (x) - \sin (2 x)$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.3

Berechne

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2 \sin (x)$ nach

$x$ gleich

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von

$\sin (x)$ nach

$x$ ist

$\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.4

Berechne

$\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

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Schritt 3.4.1

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- \sin (2 x)$ nach

$x$ gleich

$- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = \sin (x)$ und

$g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.4.2.2

Die Ableitung von

$\sin (u)$ nach

$u$ ist

$\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.4.2.3

Ersetze alle

$u$ durch

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.4.3

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2 x$ nach

$x$ gleich

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.4.6

Bringe

$2$ auf die linke Seite von

$\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (2 \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x - \sin (x)$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.7

Berechne

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 3.7.1

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- \sin (x)$ nach

$x$ gleich

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.7.2

Die Ableitung von

$\sin (x)$ nach

$x$ ist

$\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$x$ sich an

$0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.2

Ziehe den Term

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.4

Ziehe den Term

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.6

Ziehe den Term

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von

$0$ für alle

$x$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.8.1.1

Der genau Wert von

$\cos (0)$ ist

$1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.8.1.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.8.1.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$0$ .

$\frac{2 - 2 \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.8.1.4

Der genau Wert von

$\cos (0)$ ist

$1$ .

$\frac{2 - 2 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.8.1.5

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.2.8.2

Subtrahiere

$2$ von

$2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$x$ sich an

$0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 4.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von

$1$ , welcher konstant ist, wenn

$x$ sich

$0$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 4.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.1.3.2

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.3.1.1

Der genau Wert von

$\cos (0)$ ist

$1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.3.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 4.1.3.3.2

Subtrahiere

$1$ von

$1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.3

Berechne

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2 \cos (x)$ nach

$x$ gleich

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.3.2

Die Ableitung von

$\cos (x)$ nach

$x$ ist

$- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.3.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.4

Berechne

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

$- 2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 2 \cos (2 x)$ nach

$x$ gleich

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = \cos (x)$ und

$g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.4.2.2

Die Ableitung von

$\cos (u)$ nach

$u$ ist

$- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.4.2.3

Ersetze alle

$u$ durch

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.4.3

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2 x$ nach

$x$ gleich

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.4.5

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.4.6

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.4.7

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Schritt 4.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$1 - \cos (x)$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Schritt 4.3.6

$1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$1$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Schritt 4.3.7

Berechne

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- \cos (x)$ nach

$x$ gleich

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 4.3.7.2

Die Ableitung von

$\cos (x)$ nach

$x$ ist

$- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 - - \sin (x)}$

Schritt 4.3.7.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + 1 \sin (x)}$

Schritt 4.3.7.4

Mutltipliziere

$\sin (x)$ mit

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + \sin (x)}$

Schritt 4.3.8

Addiere

$0$ und

$\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\sin (x)}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} - 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$x$ sich an

$0$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 0} 2 \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.2

Ziehe den Term

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.4

Ziehe den Term

$4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.6

Ziehe den Term

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von

$0$ für alle

$x$ .

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Schritt 5.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{- 2 \sin (0) + 4 \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{- 2 \sin (0) + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.8.1.1

Der genau Wert von

$\sin (0)$ ist

$0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.8.1.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$0$ .

$\frac{0 + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.8.1.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$0$ .

$\frac{0 + 4 \sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.8.1.4

Der genau Wert von

$\sin (0)$ ist

$0$ .

$\frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.8.1.5

Mutltipliziere

$4$ mit

$0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.2.8.2

Addiere

$0$ und

$0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.1.3.2

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 5.1.3.3

Der genau Wert von

$\sin (0)$ ist

$0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.3

Berechne

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Schritt 5.3.3.1

$- 2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 2 \sin (x)$ nach

$x$ gleich

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.3.2

Die Ableitung von

$\sin (x)$ nach

$x$ ist

$\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.4

Berechne

$\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

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Schritt 5.3.4.1

$4$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$4 \sin (2 x)$ nach

$x$ gleich

$4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = \sin (x)$ und

$g (x) = 2 x$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.4.2.2

Die Ableitung von

$\sin (u)$ nach

$u$ ist

$\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.4.2.3

Ersetze alle

$u$ durch

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.4.3

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2 x$ nach

$x$ gleich

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.4.5

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.4.6

Bringe

$2$ auf die linke Seite von

$\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (2 \cdot \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.4.7

Mutltipliziere

$2$ mit

$4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 5.3.5

Die Ableitung von

$\sin (x)$ nach

$x$ ist

$\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$x$ sich an

$0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 6.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

$x$ sich an

$0$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 0} 2 \cos (x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 6.3

Ziehe den Term

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 6.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 6.5

Ziehe den Term

$8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 6.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 6.7

Ziehe den Term

$2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 6.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von

$0$ für alle

$x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Der genau Wert von

$\cos (0)$ ist

$1$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$1$ .

$\frac{- 2 + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$0$ .

$\frac{- 2 + 8 \cos (0)}{\cos (0)}$

Schritt 8.1.4

Der genau Wert von

$\cos (0)$ ist

$1$ .

$\frac{- 2 + 8 \cdot 1}{\cos (0)}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere

$8$ mit

$1$ .

$\frac{- 2 + 8}{\cos (0)}$

Schritt 8.1.6

Addiere

$- 2$ und

$8$ .

$\frac{6}{\cos (0)}$

Schritt 8.2

Der genau Wert von

$\cos (0)$ ist

$1$ .

$\frac{6}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere

$6$ durch

$1$ .

$6$

Gib DEINE Aufgabe ein