Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 4 x - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.2.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.2.4

Berechne den Grenzwert von $15$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27 - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{27 - 12 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$\frac{27 - 12 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $12$ von $27$ .

$\frac{15 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.2.6.3

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

Schritt 1.3.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

Schritt 1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

Schritt 1.3.4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 18}$

Schritt 1.3.5

Berechne den Grenzwert von $18$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{3^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.3.6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.7.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{0}{27 + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.3.7.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{0}{27 + 9 - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.3.7.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.3.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 18}$

Schritt 1.3.7.2

Addiere $27$ und $9$ .

$\frac{0}{36 - 18 - 18}$

Schritt 1.3.7.3

Subtrahiere $18$ von $36$ .

$\frac{0}{18 - 18}$

Schritt 1.3.7.4

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.7.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4 x - 15$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Schritt 3.5

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Schritt 3.6

Addiere $3 x^{2} - 4$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + x^{2} - 6 x - 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 3.10

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 3.10.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 3.10.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 3.11

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + 0}$

Schritt 3.12

Addiere $3 x^{2} + 2 x - 6$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

Schritt 10

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

Schritt 12

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

Schritt 14.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 15.1.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3^{1 + 2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{27 - 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15.1.4

Subtrahiere $4$ von $27$ .

$\frac{23}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 15.2.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{23}{3^{1} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{23}{3^{1 + 2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{23}{3^{3} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{23}{27 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{23}{27 + 6 - 1 \cdot 6}$

Schritt 15.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{23}{27 + 6 - 6}$

Schritt 15.2.5

Addiere $27$ und $6$ .

$\frac{23}{33 - 6}$

Schritt 15.2.6

Subtrahiere $6$ von $33$ .

$\frac{23}{27}$

Gib DEINE Aufgabe ein