Analysis Beispiele
f(x)=1xf(x)=1x , [2,6][2,6]
Schritt 1
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 1.1.1
Schreibe 1x1x als x-1x−1 um.
ddx[x-1]ddx[x−1]
Schritt 1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass ddx[xn]ddx[xn] gleich nxn-1nxn−1 ist mit n=-1n=−1.
-x-2−x−2
Schritt 1.1.3
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten b-n=1bnb−n=1bn.
f′(x)=-1x2
f′(x)=-1x2
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von f(x) nach x ist -1x2.
-1x2
-1x2
Schritt 2
Schritt 2.1
Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall [2,6] stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von f′(x)=-1x2.
Schritt 2.1.1
Setze den Nenner in 1x2 gleich 0, um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
x2=0
Schritt 2.1.2
Löse nach x auf.
Schritt 2.1.2.1
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
x=±√0
Schritt 2.1.2.2
Vereinfache ±√0.
Schritt 2.1.2.2.1
Schreibe 0 als 02 um.
x=±√02
Schritt 2.1.2.2.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
x=±0
Schritt 2.1.2.2.3
Plus oder Minus 0 ist 0.
x=0
x=0
x=0
Schritt 2.1.3
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von x, für die der Ausdruck definiert ist.
Intervallschreibweise:
(-∞,0)∪(0,∞)
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
{x|x≠0}
Intervallschreibweise:
(-∞,0)∪(0,∞)
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
{x|x≠0}
Schritt 2.2
f′(x) ist stetig im Intervall [2,6].
Die Funktion ist stetig.
Die Funktion ist stetig.
Schritt 3
Die Funktion ist im Intervall [2,6] differenzierbar, da die Ableitung im Intervall [2,6] stetig ist.
Die Funktion ist differenzierbar.
Schritt 4
