Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[2, 6]$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Schritt 1.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $[2, 6]$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[2, 6]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.1.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 2.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[2, 6]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Die Funktion ist im Intervall $[2, 6]$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $[2, 6]$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 4

Gib DEINE Aufgabe ein