Analysis Beispiele

$\frac{4 x + 5}{x} > 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{4 x + 5}{x} - 3$ .

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Schritt 2.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x + 5}{x} + \frac{- 3 x}{x} > 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x + 5 - 3 x}{x} > 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $3 x$ von $4 x$ .

$\frac{x + 5}{x} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 5$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 5$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 5}{x}$ .

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 5}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 7.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (- 8) + 5}{- 8} > 3$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $3.375$ ist größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (- 2) + 5}{- 2} > 3$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $1.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (2) + 5}{2} > 3$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $6.5$ ist größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 5$ oder $x > 0$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 5 or x > 0$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (0, \infty)$

Schritt 12

Gib DEINE Aufgabe ein