Analysis Beispiele

$\frac{2 x + 6}{x} < 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{2 x + 6}{x} - 1$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 6$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

Schritt 2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{x + 6}{x} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 6$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 6$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 6}{x}$ .

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 6}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 7.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $1.25$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (2) + 6}{2} < 1$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 6 < x < 0$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 6 < x < 0$

Intervallschreibweise:

$(- 6, 0)$

Schritt 12

Gib DEINE Aufgabe ein