Analysis Beispiele

$x^{2} - 4 x - 12 < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 2$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 12 < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $20$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 12 < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 12$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 12 < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $20$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 < x < 6$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 2 < x < 6$

Intervallschreibweise:

$(- 2, 6)$

Schritt 11

Gib DEINE Aufgabe ein