Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 1.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 + 4 + 1 - 6$

Schritt 1.1.3.5

Addiere $1$ und $4$ .

$5 + 1 - 6$

Schritt 1.1.3.6

Addiere $5$ und $1$ .

$6 - 6$

Schritt 1.1.3.7

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 1.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

Schritt 1.1.5

Dividiere $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ durch $x - 1$ .

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Schritt 1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Schritt 1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Schritt 1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x - 6$

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Schritt 1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 5 x + 6$

Schritt 1.1.6

Schreibe $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 4.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$f (x) = x - 1$

Schritt 5

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x + 2, x + 3$

Schritt 6

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $x - 1$ .

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Schritt 6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6.3

Setze $- 2$ für $x$ in $x - 1$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Setze $- 2$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$- 2 - 1$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$- 3$

Schritt 6.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 6.5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6.6

Setze $- 3$ für $x$ in $x - 1$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Setze $- 3$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$- 3 - 1$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$- 4$

Schritt 6.7

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

Schritt 7

Gib DEINE Aufgabe ein