Beispiele

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - b - c a - b + c a + b + 5 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}]$

Schritt 1

Der Kern einer Transformation ist ein Vektor, der die Transformation gleich dem Nullvektor (dem Urbild der Transformation) macht.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - b - c a - b + c a + b + 5 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = 0

$[\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}] = 0$

Schritt 2

Erzeuge aus der Vektorgleichung ein Gleichungssystem.

a - b - c = 0

$a - b - c = 0$

a - b + c = 0

$a - b + c = 0$

a + b + 5 c = 0

$a + b + 5 c = 0$

Schritt 3

Schreibe das System als eine Matrix.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 1 & - 1 & 1 & 0 1 & 1 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 4.1.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 1 - 1 & - 1 + 1 & 1 + 1 & 0 - 0 1 & 1 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 1 & 1 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 1 & 1 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.2

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 4.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 1 - 1 & 1 + 1 & 5 + 1 & 0 - 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 5 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3

Vertausche

R_{3}

$R_{3}$ mit

R_{2}

$R_{2}$ , um einen Nicht-Null-Eintrag in

2, 2

$2, 2$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 2 & 6 & 0 0 & 0 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.4

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} 0 & 0 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.5

Multipliziere jedes Element von

R_{3}

$R_{3}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

3, 3

$3, 3$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.5.1

Multipliziere jedes Element von

R_{3}

$R_{3}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

3, 3

$3, 3$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 1 & 3 & 0 \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Schritt 4.5.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.6

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

2, 3

$2, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 4.6.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

2, 3

$2, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.6.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.7

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + R_{3}

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ aus, um den Eintrag in

1, 3

$1, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 4.7.1

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + R_{3}

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ aus, um den Eintrag in

1, 3

$1, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 0 & - 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.7.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.8

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 4.8.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.8.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

Schritt 6

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 7

Schreibe als eine Lösungsmenge.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Schritt 8

Der Nullraum von

$S$ ist der Teilraum

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Gib DEINE Aufgabe ein