Beispiele

$B = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

$p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

$2$ ist die

$2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Ersetze

$A$ durch

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 1.3.2

Ersetze

$I_{2}$ durch

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Multipliziere

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Vereinfache jedes Element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Addiere

$2$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere

$3$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Bestimme die Determinante.

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Schritt 1.5.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.1

Multipliziere

$(1 - λ) (4 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere

$- λ$ mit

$1$ .

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.2.1.5

Multipliziere

$λ$ mit

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.1.2.1.5.1

Bewege

$λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere

$λ^{2}$ mit

$1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.2.2

Subtrahiere

$4 λ$ von

$- λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5.2.1.3

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Schritt 1.5.2.2

Subtrahiere

$6$ von

$4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Schritt 1.5.2.3

Stelle

$- 5 λ$ und

$λ^{2}$ um.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich

$0$ , um die Eigenwerte

$λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach

$λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.7.2

Setze die Werte

$a = 1$ ,

$b = - 5$ und

$c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach

$λ$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache.

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Schritt 1.7.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1.1

Potenziere

$- 5$ mit

$2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.2

Multipliziere

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.7.3.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.2.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.3

Addiere

$25$ und

$8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Schritt 1.7.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Schritt 2

Der Eigenvektor ist gleich dem Nullraum der Matrix minus dem Eigenwert mal der Einheitsmatrix, wobei

$N$ der Nullraum und

$I$ die Einheitsmatrix ist.

$ε_{B} = N (B - λ I_{2})$

Schritt 3

Bestimme den Eigenvektor unter Verwendung des Eigenwertes

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2

Multipliziere

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.2.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3

Multipliziere

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.3.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3

Vereinfache jedes Element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Schreibe

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.3.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.3.3

Subtrahiere

$5$ von

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.4

Schreibe

$- 3$ als

$- 1 (3)$ um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.5

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- \sqrt{33}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.6

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- 1 (3) - (\sqrt{33})$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.8

Addiere

$2$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.9

Addiere

$3$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.10

$4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.11

Kombiniere

$4$ und

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.3.13.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.13.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.13.4

Subtrahiere

$5$ von

$8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 3.3

Bestimme den Nullraum, wenn

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe als eine erweiterte Matrix für

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.3.2.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.3.2.2.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Schreibe die Lösung als Linearkombination von Vektoren.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Schreibe als eine Lösungsmenge.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 3.3.7

Die Lösung ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Bestimme den Eigenvektor unter Verwendung des Eigenwertes

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2

Multipliziere

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.2.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3

Multipliziere

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.3.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jedes Element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Schreibe

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3.3

Multipliziere

$- - \sqrt{33}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3.3.2

Mutltipliziere

$\sqrt{33}$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3.4

Subtrahiere

$5$ von

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe

$- 3$ als

$- 1 (3)$ um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.5

Faktorisiere

$- 1$ aus

$\sqrt{33}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.6

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.8

Addiere

$2$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.9

Addiere

$3$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.10

$4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.11

Kombiniere

$4$ und

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.13

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.13.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.13.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.13.4

Multipliziere

$- - \sqrt{33}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.13.4.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.13.4.2

Mutltipliziere

$\sqrt{33}$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.13.5

Subtrahiere

$5$ von

$8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.3

Bestimme den Nullraum, wenn

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Schreibe als eine erweiterte Matrix für

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Schreibe die Lösung als Linearkombination von Vektoren.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Schreibe als eine Lösungsmenge.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 4.3.7

Die Lösung ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

Der Eigenraum von

$B$ ist die Liste des Vektorraums für jeden Eigenwert.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Gib DEINE Aufgabe ein