Beispiele

f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf

2 x^{2} + 3 x - 4

$2 x^{2} + 3 x - 4$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ zu ermitteln.

a = 2

$a = 2$

b = 3

$b = 3$

c = - 4

$c = - 4$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von

d

$d$ mithilfe der Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

d = \frac{3}{2 \cdot 2}

$d = \frac{3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

d = \frac{3}{4}

$d = \frac{3}{4}$

d = \frac{3}{4}

$d = \frac{3}{4}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von

e

$e$ mithilfe der Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von

c

$c$ ,

b

$b$ , und

a

$a$ in die Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

e = - 4 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 2}

$e = - 4 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

e = - 4 - \frac{9}{4 \cdot 2}

$e = - 4 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

e = - 4 - \frac{9}{8}

$e = - 4 - \frac{9}{8}$

e = - 4 - \frac{9}{8}

$e = - 4 - \frac{9}{8}$

Schritt 1.1.4.2.2

- 4

$- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

e = - 4 \cdot \frac{8}{8} - \frac{9}{8}

$e = - 4 \cdot \frac{8}{8} - \frac{9}{8}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere

- 4

$- 4$ und

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

e = \frac{- 4 \cdot 8}{8} - \frac{9}{8}

$e = \frac{- 4 \cdot 8}{8} - \frac{9}{8}$

Schritt 1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

e = \frac{- 4 \cdot 8 - 9}{8}

$e = \frac{- 4 \cdot 8 - 9}{8}$

Schritt 1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

8

$8$ .

e = \frac{- 32 - 9}{8}

$e = \frac{- 32 - 9}{8}$

Schritt 1.1.4.2.5.2

Subtrahiere

9

$9$ von

- 32

$- 32$ .

e = \frac{- 41}{8}

$e = \frac{- 41}{8}$

e = \frac{- 41}{8}

$e = \frac{- 41}{8}$

Schritt 1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

e = - \frac{41}{8}

$e = - \frac{41}{8}$

e = - \frac{41}{8}

$e = - \frac{41}{8}$

e = - \frac{41}{8}

$e = - \frac{41}{8}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von

a

$a$ ,

d

$d$ und

e

$e$ in die Scheitelform

2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}

$2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}$ ein.

2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}

$2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}$

2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}

$2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}$

Schritt 1.2

Setze

y

$y$ gleich der neuen rechten Seite.

y = 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}

$y = 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}$

y = 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}

$y = 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

a

$a$ ,

h

$h$ und

k

$k$ zu ermitteln.

a = 2

$a = 2$

h = - \frac{3}{4}

$h = - \frac{3}{4}$

k = - \frac{41}{8}

$k = - \frac{41}{8}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt

(h, k)

$(h, k)$ .

(- \frac{3}{4}, - \frac{41}{8})

$(- \frac{3}{4}, - \frac{41}{8})$

Schritt 4

Gib DEINE Aufgabe ein