Beispiele

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 1

Schreibe

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ als Gleichung.

$y = x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1

Wende die quadratische Ergänzung auf

$x^{2} - 10 x + 25$ an.

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Schritt 2.1.1

Wende die Form

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

$a$ ,

$b$ und

$c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 10$

$c = 25$

Schritt 2.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.3

Ermittle den Wert von

$d$ mithilfe der Formel

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Setze die Werte von

$a$ und

$b$ in die Formel

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 10$ und

$2$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.2.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Schritt 2.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 5}{1}$

Schritt 2.1.3.2.2.4

Dividiere

$- 5$ durch

$1$ .

$d = - 5$

Schritt 2.1.4

Ermittle den Wert von

$e$ mithilfe der Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Setze die Werte von

$c$ ,

$b$ , und

$a$ in die Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 25 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.1.1

Potenziere

$- 10$ mit

$2$ .

$e = 25 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$e = 25 - \frac{100}{4}$

Schritt 2.1.4.2.1.3

Dividiere

$100$ durch

$4$ .

$e = 25 - 1 \cdot 25$

Schritt 2.1.4.2.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$25$ .

$e = 25 - 25$

Schritt 2.1.4.2.2

Subtrahiere

$25$ von

$25$ .

$e = 0$

Schritt 2.1.5

Setze die Werte von

$a$ ,

$d$ und

$e$ in die Scheitelform

${(x - 5)}^{2} + 0$ ein.

${(x - 5)}^{2} + 0$

Schritt 2.2

Setze

$y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x - 5)}^{2} + 0$

Schritt 3

Benutze die Scheitelpunktform,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

$a$ ,

$h$ und

$k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = 5$

$k = 0$

Schritt 4

Da der Wert von

$a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 5

Ermittle den Scheitelpunkt

$(h, k)$ .

$(5, 0)$

Schritt 6

Berechne

$p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 6.2

Setze den Wert von

$a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 7

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 7.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von

$p$ zur y-Koordinate

$k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von

$h$ ,

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5, \frac{1}{4})$

Schritt 8

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 5$

Schritt 9

Finde die Leitlinie.

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Schritt 9.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von

$p$ von der y-Koordinate

$k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte von

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{1}{4}$

Schritt 10

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

$(5, 0)$

Brennpunkt:

$(5, \frac{1}{4})$

Symmetrieachse:

$x = 5$

Leitlinie:

$y = - \frac{1}{4}$

Schritt 11

Gib DEINE Aufgabe ein