Beispiele

x^{3} - 8 = 0

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 1

Addiere

8

$8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x^{3} = 8

$x^{3} = 8$

Schritt 2

Subtrahiere

8

$8$ von beiden Seiten der Gleichung.

x^{3} - 8 = 0

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe

8

$8$ als

2^{3}

$2^{3}$ um.

x^{3} - 2^{3} = 0

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

a = x

$a = x$ und

b = 2

$b = 2$ .

(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Bringe

2

$2$ auf die linke Seite von

x

$x$ .

(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 3.3.2

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x^{2} + 2 x + 4 = 0

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 5

Setze

x - 2

$x - 2$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze

x - 2

$x - 2$ gleich

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere

2

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Schritt 6

Setze

x^{2} + 2 x + 4

$x^{2} + 2 x + 4$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze

x^{2} + 2 x + 4

$x^{2} + 2 x + 4$ gleich

0

$0$ .

x^{2} + 2 x + 4 = 0

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 6.2

Löse

x^{2} + 2 x + 4 = 0

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = 2

$b = 2$ und

c = 4

$c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach

x

$x$ auf.

\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot 4

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

4

$4$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere

16

$16$ von

4

$4$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe

- 12

$- 12$ als

- 1 (12)

$- 1 (12)$ um.

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe

\sqrt{- 1 (12)}

$\sqrt{- 1 (12)}$ als

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ als

i

$i$ um.

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.7

Schreibe

12

$12$ als

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.7.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

12

$12$ heraus.

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.7.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.9

Bringe

2

$2$ auf die linke Seite von

i

$i$ .

x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache

\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

x = - 1 \pm i \sqrt{3}

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

x = - 1 \pm i \sqrt{3}

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

+

$+$ -Teil von

\pm

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.1

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot 4

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

4

$4$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.3

Subtrahiere

16

$16$ von

4

$4$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.4

Schreibe

- 12

$- 12$ als

- 1 (12)

$- 1 (12)$ um.

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.5

Schreibe

\sqrt{- 1 (12)}

$\sqrt{- 1 (12)}$ als

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6

Schreibe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ als

i

$i$ um.

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.7

Schreibe

12

$12$ als

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.7.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

12

$12$ heraus.

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.7.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.9

Bringe

2

$2$ auf die linke Seite von

i

$i$ .

x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache

\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

x = - 1 \pm i \sqrt{3}

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.4.4

Ändere das

\pm

$\pm$ zu

+

$+$ .

x = - 1 + i \sqrt{3}

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

x = - 1 + i \sqrt{3}

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

-

$-$ -Teil von

\pm

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.1

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot 4

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

4

$4$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.3

Subtrahiere

16

$16$ von

4

$4$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.4

Schreibe

- 12

$- 12$ als

- 1 (12)

$- 1 (12)$ um.

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.5

Schreibe

\sqrt{- 1 (12)}

$\sqrt{- 1 (12)}$ als

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6

Schreibe

$\sqrt{- 1}$ als

$i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.7

Schreibe

$12$ als

$2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.7.1

Faktorisiere

$4$ aus

$12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.7.2

Schreibe

$4$ als

$2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.9

Bringe

$2$ auf die linke Seite von

$i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Vereinfache

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.5.4

Ändere das

$\pm$ zu

$-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Gib DEINE Aufgabe ein