Beispiele

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 5, 6)

$(2, 5, 6)$ ,

(2, 9, 7)

$(2, 9, 7)$ ,

(3, 3, 3)

$(3, 3, 3)$

Schritt 1

Gegeben seien die Punkte

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$ und

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$ . Finde eine Ebene, die die Punkte

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$ und

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$ enthält und die parallel zur Geraden

CD

$CD$ ist.

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$

Schritt 2

Berechne zunächst den Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte

C

$C$ und

D

$D$ . Dies kann erreicht werden, indem die Koordinatenwerte von Punkt

C

$C$ von Punkt

D

$D$ subtrahiert werden.

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Schritt 3

Ersetze die

x

$x$ -,

y

$y$ - und

z

$z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor

V_{CD}

$V_{CD}$ für die Gerade

CD

$CD$ zu ermitteln.

V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩$

Schritt 4

Berechne den Richtungsvektor einer Geraden durch die Punkte

A

$A$ und

B

$B$ mithilfe derselben Methode.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Schritt 5

Ersetze die

x

$x$ -,

y

$y$ - und

z

$z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor

V_{AB}

$V_{AB}$ für die Gerade

AB

$AB$ zu ermitteln.

V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩$

Schritt 6

Die Lösungsebene enthält eine Gerade, die durch die Punkte

A

$A$ und

B

$B$ verläuft, mit dem Richtungsvektor

V_{A B}

$V_{A B}$ . Um festzustellen, ob diese Ebene parallel zur Geraden

C D

$C D$ verläuft, ermittle den Normalenvektor der Ebene, welcher auch orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden

C D

$C D$ ist. Berechne den Normalenvektor durch Ermitteln des Kreuzproduktes

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ durch Ermitteln der Determinante der Matrix

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 1 & 3 & 3 1 & - 6 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & - 6 & - 4 \end{array}]$

Schritt 7

Berechne die Determinante.

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Schritt 7.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

1

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 7.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 7.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 7.1.3

Die Unterdeterminante für

a_{11}

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.1.4

Multipliziere Element

a_{11}

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.1.5

Die Unterdeterminante für

a_{12}

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.1.6

Multipliziere Element

a_{12}

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j$

Schritt 7.1.7

Die Unterdeterminante für

a_{13}

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$

Schritt 7.1.8

Multipliziere Element

a_{13}

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Schritt 7.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 1 & - 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Schritt 7.2

Berechne

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 7.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i (3 \cdot - 4 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.1.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 4$ .

$i (- 12 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.1.2

Multipliziere

$- (- 6 \cdot 3)$ .

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Schritt 7.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$3$ .

$i (- 12 - - 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 18$ .

$i (- 12 + 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.2

Addiere

$- 12$ und

$18$ .

$i \cdot 6 - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Schritt 7.3

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 7.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i \cdot 6 - (1 \cdot - 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$i \cdot 6 - (- 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.2

Subtrahiere

$3$ von

$- 4$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Schritt 7.4

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$ .

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Schritt 7.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i \cdot 6 - - 7 j + (1 \cdot - 6 - 1 \cdot 3) k$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$1$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 1 \cdot 3) k$

Schritt 7.4.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 3) k$

Schritt 7.4.2.2

Subtrahiere

$3$ von

$- 6$ .

$i \cdot 6 - - 7 j - 9 k$

Schritt 7.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1

Bringe

$6$ auf die linke Seite von

$i$ .

$6 \cdot i - - 7 j - 9 k$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 7$ .

$6 i + 7 j - 9 k$

Schritt 8

Löse den Ausdruck

$(6) x + (7) y + (- 9) z$ am Punkt

$A$ , da er in der Ebene ist. Dies wird angewendet, um die Konstante in der Gleichung für die Ebene zu berechnen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere

$6$ mit

$1$ .

$6 + (7) \cdot 2 + (- 9) \cdot 3$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere

$7$ mit

$2$ .

$6 + 14 + (- 9) \cdot 3$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere

$- 9$ mit

$3$ .

$6 + 14 - 27$

Schritt 8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.1

Addiere

$6$ und

$14$ .

$20 - 27$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere

$27$ von

$20$ .

$- 7$

Schritt 9

Addiere die Konstante, sodass sich die Gleichung der Ebene zu

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$ ergibt.

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$

Schritt 10

Mutltipliziere

$- 9$ mit

$z$ .

$6 x + 7 y - 9 z = - 7$

Gib DEINE Aufgabe ein