Beispiele

Gegeben seien die Punkte ${\displaystyle C=(7,0,-1)}$ und ${\displaystyle D=(0,-4,0)}$. Finde eine Ebene, die die Punkte ${\displaystyle A=(6,7,2)}$ und ${\displaystyle B=(-8,3,-1)}$ enthält und die parallel zur Geraden ${\displaystyle \mathrm{CD}}$ ist.

Berechne zunächst den Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D}$. Dies kann erreicht werden, indem die Koordinatenwerte von Punkt ${\displaystyle C}$ von Punkt ${\displaystyle D}$ subtrahiert werden.

Ersetze die ${\displaystyle x}$-, ${\displaystyle y}$- und ${\displaystyle z}$-Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor ${\displaystyle V_{\mathrm{CD}}}$ für die Gerade ${\displaystyle \mathrm{CD}}$ zu ermitteln.

Berechne den Richtungsvektor einer Geraden durch die Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mithilfe derselben Methode.

Ersetze die ${\displaystyle x}$-, ${\displaystyle y}$- und ${\displaystyle z}$-Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor ${\displaystyle V_{\mathrm{AB}}}$ für die Gerade ${\displaystyle \mathrm{AB}}$ zu ermitteln.

Die Lösungsebene enthält eine Gerade, die durch die Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ verläuft, mit dem Richtungsvektor ${\displaystyle V_{AB}}$. Um festzustellen, ob diese Ebene parallel zur Geraden ${\displaystyle CD}$ verläuft, ermittle den Normalenvektor der Ebene, welcher auch orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ${\displaystyle CD}$ ist. Berechne den Normalenvektor durch Ermitteln des Kreuzproduktes ${\displaystyle V_{AB}}$x${\displaystyle V_{CD}}$ durch Ermitteln der Determinante der Matrix ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_B-x_A& y_B-y_A& z_B-z_A\\ x_D-x_C& y_D-y_C& z_D-z_C\end{array}\right]}$.

Addiere die Konstante, sodass sich die Gleichung der Ebene zu ${\displaystyle (-16)x+\left(35\right)y+\left(28\right)z=205}$ ergibt.