Beispiele

$3 x - y = - 4$ , $x - 2 y = - 3$

Schritt 1

Um den Schnittpunkt der Geraden durch einen Punkt $(p, q, r)$ senkrecht zur Ebene $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ und Ebene $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ zu finden:

1. Finde die Normalvektoren von Ebene $P_{1}$ und Ebene $P_{2}$ , wobei die Normalvektoren $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ und $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ sind. Prüfe, ob das Skalarprodukt 0 ist.

2. Stelle einen Satz parametrischer Gleichungen auf, sodass $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ .

3. Setze diese Gleichungen in die Gleichung für die Ebene $P_{2}$ ein, sodass $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ und löse nach $t$ auf.

4. Löse die parametrischen Gleichungen $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ unter Verwendung des Wertes von $t$ nach $t$ auf, um den Schnittpunkt $(x, y, z)$ zu finden.

Schritt 2

Ermittle die Normalenvektoren für jede Ebene und stelle fest, ob sie senkrecht zueinander sind durch Berechnung des Skalarprodukts.

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Schritt 2.1

$P_{1}$ ist $3 x - y = - 4$ . Finde den Normalvektor $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ der Ebenengleichung der Form $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Schritt 2.2

$P_{2}$ ist $x - 2 y = - 3$ . Finde den Normalvektor $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ der Ebenengleichung der Form $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

Schritt 2.3

Berechne das Skalarprodukt von $n_{1}$ und $n_{2}$ , durch Summieren der Produkte der entsprechenden $x$ , $y$ und $z$ Werte in den Normalvektoren.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4

Vereinfache das Skalarprodukt.

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Schritt 2.4.1

Entferne die Klammern.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$3 + 2 + 0$

Schritt 2.4.3

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.4.3.1

Addiere $3$ und $2$ .

$5 + 0$

Schritt 2.4.3.2

Addiere $5$ und $0$ .

$5$

Schritt 3

Als Nächstes erzeuge einen Satz parametrischer Gleichungen $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ unter Verwendung des Ursprungs $(0, 0, 0)$ für den Punkt $(p, q, r)$ und der Werte des Normalenvektors $5$ für die Werte von $a$ , $b$ und $c$ . Dieser Satz Parameterdarstellungen stellt die Gerade durch den Ursprung dar, die senkrecht auf $P_{1}$ $3 x - y = - 4$ steht.

$x = 0 + 3 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Schritt 4

Setze den Ausdruck für $x$ , $y$ und $z$ in die Gleichung für $P_{2}$ , $x - 2 y = - 3$ , ein.

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

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Schritt 5.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Addiere $0$ und $3 \cdot t$ .

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Schritt 5.1.1.2

Subtrahiere $1 \cdot t$ von $0$ .

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

Schritt 5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$3 t - 2 (- t) = - 3$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$3 t + 2 t = - 3$

Schritt 5.1.3

Addiere $3 t$ und $2 t$ .

$5 t = - 3$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $5 t = - 3$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 t = - 3$ durch $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- 3}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{3}{5}$

Schritt 6

Löse die parametrischen Gleichungen nach $x$ , $y$ und $z$ auf durch Verwendung des Wertes von $t$ .

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Schritt 6.1

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Schritt 6.1.2

Entferne die Klammern.

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

Schritt 6.1.3

Vereinfache $0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.3.1.1

Multipliziere $3 (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

Schritt 6.1.3.1.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{5}$ .

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

Schritt 6.1.3.1.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

Schritt 6.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 0 - \frac{9}{5}$

Schritt 6.1.3.2

Subtrahiere $\frac{9}{5}$ von $0$ .

$x = - \frac{9}{5}$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Schritt 6.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

Schritt 6.2.3

Vereinfache $0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.2.3.1

Multipliziere $- 1 (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

Schritt 6.2.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $1$ .

$y = 0 + \frac{3}{5}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $0$ und $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 6.3.1

Entferne die Klammern.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Schritt 6.3.2

Entferne die Klammern.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

Schritt 6.3.3

Vereinfache $0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere $0 (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.3.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

Schritt 6.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{5}$ .

$z = 0 + 0$

Schritt 6.3.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$z = 0$

Schritt 6.4

Die gelösten parametrischen Gleichungen für $x$ , $y$ und $z$ .

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

Schritt 7

Die für $x$ , $y$ und $z$ berechneten Wertte anwenden, der Schnittpunkt ist $(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ .

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

Gib DEINE Aufgabe ein