Beispiele

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x - 7$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = - \frac{3}{10}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{3}{10})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{10}$ an.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{10}$ an.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{10^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $10$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $100$ heraus.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Schritt 3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Schritt 3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Schritt 3.2.1.7

Multipliziere $3 (- \frac{3}{10})$ .

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Schritt 3.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 7$

Schritt 3.2.1.7.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 7$

Schritt 3.2.1.7.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 7$

Schritt 3.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 7$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{9}{10}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{9}{10}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 7$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $- 7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{- 7}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 7}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Schritt 3.2.2.6

Stelle die Faktoren von $10 \cdot 2$ um.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Schritt 3.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 20}{20}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 20}{20}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $20$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 140}{20}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 - 140}{20}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $140$ von $- 9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 149}{20}$

Schritt 3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{3}{10}) = - \frac{149}{20}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{149}{20}$ .

$- \frac{149}{20}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- \frac{3}{10}, - \frac{149}{20})$

Schritt 5

Gib DEINE Aufgabe ein