Beispiele

$x^{2} + 7 x - \frac{1}{2} = 0$

Schritt 1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 (7 x) + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 14 x + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$2 x^{2} + 14 x + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + 14 x + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} + 14 x - 1 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 14$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.3

Addiere $196$ und $8$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{204}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $204$ als $2^{2} \cdot 51$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $204$ heraus.

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (51)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{51}}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{51}}{4}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{51}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Addiere $196$ und $8$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{204}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $204$ als $2^{2} \cdot 51$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $204$ heraus.

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (51)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{51}}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{51}}{4}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{51}}{2}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{51}}{2}$

Schritt 5.5

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{51}}{2}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{51}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{51})}{2}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{51})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{51})}{2}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 - \sqrt{51}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3

Addiere $196$ und $8$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{204}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $204$ als $2^{2} \cdot 51$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $204$ heraus.

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (51)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{51}}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{51}}{4}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{51}}{2}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{51}}{2}$

Schritt 6.5

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{51}}{2}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{51}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{51})}{2}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - (\sqrt{51})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{51})}{2}$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 + \sqrt{51}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{7 - \sqrt{51}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{51}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{7 - \sqrt{51}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{51}}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.07071421 \dots, - 7.07071421 \dots$

Gib DEINE Aufgabe ein