Algebra Beispiele

Bestimme die Funktionsregel
xq(x)11223344xq(x)11223344
Schritt 1
Prüfe, ob die Funktionsregel linear ist.
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Schritt 1.1
Um zu ermitteln, ob die Tabelle einer Funktionsregel folgt, prüfe, ob die Werte der linearen Form y=ax+by=ax+b folgen.
y=ax+by=ax+b
Schritt 1.2
Erzeuge eine Menge von Gleichungen aus der Tabelle, sodass q(x)=ax+bq(x)=ax+b.
1=a(1)+b2=a(2)+b3=a(3)+b4=a(4)+b1=a(1)+b2=a(2)+b3=a(3)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3
Berechne die Werte von aa und bb.
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Schritt 1.3.1
Löse in 1=a+b1=a+b nach aa auf.
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Schritt 1.3.1.1
Schreibe die Gleichung als a+b=1a+b=1 um.
a+b=1a+b=1
2=a(2)+b2=a(2)+b
3=a(3)+b3=a(3)+b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.1.2
Subtrahiere bb von beiden Seiten der Gleichung.
a=1-ba=1b
2=a(2)+b2=a(2)+b
3=a(3)+b3=a(3)+b
4=a(4)+b4=a(4)+b
a=1-ba=1b
2=a(2)+b2=a(2)+b
3=a(3)+b3=a(3)+b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.2
Ersetze alle Vorkommen von aa durch 1-b1b in jeder Gleichung.
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Schritt 1.3.2.1
Ersetze alle aa in 2=a(2)+b2=a(2)+b durch 1-b1b.
2=(1-b)(2)+b2=(1b)(2)+b
a=1-ba=1b
3=a(3)+b3=a(3)+b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.2.2.1
Vereinfache (1-b)(2)+b(1b)(2)+b.
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Schritt 1.3.2.2.1.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.3.2.2.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
2=12-b2+b2=12b2+b
a=1-ba=1b
3=a(3)+b3=a(3)+b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.2.2.1.1.2
Mutltipliziere 22 mit 11.
2=2-b2+b2=2b2+b
a=1-ba=1b
3=a(3)+b3=a(3)+b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.2.2.1.1.3
Mutltipliziere 22 mit -11.
2=2-2b+b2=22b+b
a=1-ba=1b
3=a(3)+b3=a(3)+b
4=a(4)+b4=a(4)+b
2=2-2b+b2=22b+b
a=1-ba=1b
3=a(3)+b3=a(3)+b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.2.2.1.2
Addiere -2b2b und bb.
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
3=a(3)+b3=a(3)+b
4=a(4)+b4=a(4)+b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
3=a(3)+b3=a(3)+b
4=a(4)+b4=a(4)+b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
3=a(3)+b3=a(3)+b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.2.3
Ersetze alle aa in 3=a(3)+b3=a(3)+b durch 1-b1b.
3=(1-b)(3)+b3=(1b)(3)+b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.2.4.1
Vereinfache (1-b)(3)+b(1b)(3)+b.
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Schritt 1.3.2.4.1.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.3.2.4.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
3=13-b3+b3=13b3+b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.2.4.1.1.2
Mutltipliziere 33 mit 11.
3=3-b3+b3=3b3+b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.2.4.1.1.3
Mutltipliziere 33 mit -11.
3=3-3b+b3=33b+b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=a(4)+b4=a(4)+b
3=3-3b+b3=33b+b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.2.4.1.2
Addiere -3b3b und bb.
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=a(4)+b4=a(4)+b
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=a(4)+b4=a(4)+b
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=a(4)+b4=a(4)+b
Schritt 1.3.2.5
Ersetze alle aa in 4=a(4)+b4=a(4)+b durch 1-b1b.
4=(1-b)(4)+b4=(1b)(4)+b
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.2.6
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.2.6.1
Vereinfache (1-b)(4)+b(1b)(4)+b.
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Schritt 1.3.2.6.1.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.3.2.6.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
4=14-b4+b4=14b4+b
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.2.6.1.1.2
Mutltipliziere 44 mit 11.
4=4-b4+b4=4b4+b
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.2.6.1.1.3
Mutltipliziere 44 mit -11.
4=4-4b+b4=44b+b
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=4-4b+b4=44b+b
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.2.6.1.2
Addiere -4b4b und bb.
4=4-3b4=43b
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=4-3b4=43b
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=4-3b4=43b
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
4=4-3b4=43b
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.3
Löse in 4=4-3b4=43b nach bb auf.
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Schritt 1.3.3.1
Schreibe die Gleichung als 4-3b=443b=4 um.
4-3b=443b=4
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.3.2
Bringe alle Terme, die nicht bb enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 1.3.3.2.1
Subtrahiere 44 von beiden Seiten der Gleichung.
-3b=4-43b=44
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.3.2.2
Subtrahiere 44 von 44.
-3b=03b=0
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
-3b=03b=0
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.3.3
Teile jeden Ausdruck in -3b=03b=0 durch -33 und vereinfache.
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Schritt 1.3.3.3.1
Teile jeden Ausdruck in -3b=03b=0 durch -33.
-3b-3=0-33b3=03
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.3.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.3.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von -33.
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Schritt 1.3.3.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
-3b-3=0-33b3=03
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.3.3.2.1.2
Dividiere bb durch 11.
b=0-3b=03
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
b=0-3b=03
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
b=0-3b=03
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.3.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.3.3.3.1
Dividiere 00 durch -33.
b=0b=0
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
b=0b=0
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
b=0b=0
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
b=0b=0
3=3-2b3=32b
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.4
Ersetze alle Vorkommen von bb durch 00 in jeder Gleichung.
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Schritt 1.3.4.1
Ersetze alle bb in 3=3-2b3=32b durch 00.
3=3-203=320
b=0b=0
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.4.2.1
Vereinfache 3-20320.
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Schritt 1.3.4.2.1.1
Mutltipliziere -22 mit 00.
3=3+03=3+0
b=0b=0
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.4.2.1.2
Addiere 33 und 00.
3=33=3
b=0b=0
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
3=33=3
b=0b=0
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
3=33=3
b=0b=0
2=2-b2=2b
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.4.3
Ersetze alle bb in 2=2-b2=2b durch 00.
2=2-(0)2=2(0)
3=33=3
b=0b=0
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.4.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.4.4.1
Subtrahiere 00 von 22.
2=22=2
3=33=3
b=0b=0
a=1-ba=1b
2=22=2
3=33=3
b=0b=0
a=1-ba=1b
Schritt 1.3.4.5
Ersetze alle bb in a=1-ba=1b durch 00.
a=1-(0)a=1(0)
2=22=2
3=33=3
b=0b=0
Schritt 1.3.4.6
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.4.6.1
Subtrahiere 00 von 11.
a=1a=1
2=22=2
3=33=3
b=0b=0
a=1a=1
2=22=2
3=33=3
b=0b=0
a=1a=1
2=22=2
3=33=3
b=0b=0
Schritt 1.3.5
Entferne alle Gleichungen aus dem System, die immer erfüllt sind.
a=1a=1
b=0b=0
Schritt 1.3.6
Liste alle Lösungen auf.
a=1,b=0a=1,b=0
a=1,b=0a=1,b=0
Schritt 1.4
Berechne den Wert von yy unter Verwendung jedes xx-Wertes in der Relation und vergleiche diesen Wert mit dem gegebenen q(x)q(x)-Wert in der Relation.
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Schritt 1.4.1
Berechne den Wert von yy, wenn a=1a=1, b=0b=0 und x=1x=1.
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Schritt 1.4.1.1
Mutltipliziere 11 mit 11.
y=1+0y=1+0
Schritt 1.4.1.2
Addiere 11 und 00.
y=1y=1
y=1y=1
Schritt 1.4.2
Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, y=q(x)y=q(x) für den entsprechenden xx-Wert, x=1x=1. Der Test wird bestanden, da y=1y=1 und q(x)=1q(x)=1.
1=11=1
Schritt 1.4.3
Berechne den Wert von yy, wenn a=1a=1, b=0b=0 und x=2x=2.
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Schritt 1.4.3.1
Mutltipliziere 22 mit 11.
y=2+0y=2+0
Schritt 1.4.3.2
Addiere 22 und 00.
y=2y=2
y=2y=2
Schritt 1.4.4
Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, y=q(x)y=q(x) für den entsprechenden xx-Wert, x=2x=2. Der Test wird bestanden, da y=2y=2 und q(x)=2q(x)=2.
2=22=2
Schritt 1.4.5
Berechne den Wert von yy, wenn a=1a=1, b=0b=0 und x=3x=3.
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Schritt 1.4.5.1
Mutltipliziere 33 mit 11.
y=3+0y=3+0
Schritt 1.4.5.2
Addiere 33 und 00.
y=3y=3
y=3y=3
Schritt 1.4.6
Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, y=q(x)y=q(x) für den entsprechenden xx-Wert, x=3x=3. Der Test wird bestanden, da y=3y=3 und q(x)=3q(x)=3.
3=33=3
Schritt 1.4.7
Berechne den Wert von yy, wenn a=1a=1, b=0b=0 und x=4x=4.
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Schritt 1.4.7.1
Mutltipliziere 44 mit 11.
y=4+0y=4+0
Schritt 1.4.7.2
Addiere 44 und 00.
y=4y=4
y=4y=4
Schritt 1.4.8
Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, y=q(x)y=q(x) für den entsprechenden xx-Wert, x=4x=4. Der Test wird bestanden, da y=4y=4 und q(x)=4q(x)=4.
4=44=4
Schritt 1.4.9
Da für die entsprechenden xx-Werte y=q(x)y=q(x), ist die Funktion linear.
Die Funktion ist linear
Die Funktion ist linear
Die Funktion ist linear
Schritt 2
Da alle y=q(x)y=q(x), ist die Funktion linear und folgt der Form y=xy=x.
y=xy=x
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