Algebra Beispiele

x^{2} + 4 x + 4

$x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich

0

$0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

{(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 4

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 4$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

0

$0$ , folglich ist

x = - 2

$x = - 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

4 + 4 (- 2) + 4

$4 + 4 (- 2) + 4$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere

4

$4$ mit

- 2

$- 2$ .

4 - 8 + 4

$4 - 8 + 4$

4 - 8 + 4

$4 - 8 + 4$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere

8

$8$ von

4

$4$ .

- 4 + 4

$- 4 + 4$

Schritt 4.2.2

Addiere

- 4

$- 4$ und

4

$4$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Schritt 5

- 2

$- 2$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch

x + 2

$x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 2}

$\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 2}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um

1

$1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 2$ $- 2$	$1$ $1$	$4$ $4$	$4$ $4$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden

(1)

$(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 2$ $- 2$	$1$ $1$	$4$ $4$	$4$ $4$

	$1$ $1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(1)

$(1)$ mit dem Divisor

(- 2)

$(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von

(- 2)

$(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(4)

$(4)$ .

$- 2$ $- 2$	$1$ $1$	$4$ $4$	$4$ $4$
		$- 2$ $- 2$
	$1$ $1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$ $- 2$	$1$ $1$	$4$ $4$	$4$ $4$
		$- 2$ $- 2$
	$1$ $1$	$2$ $2$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(2)

$(2)$ mit dem Divisor

(- 2)

$(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von

(- 4)

$(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(4)

$(4)$ .

$- 2$ $- 2$	$1$ $1$	$4$ $4$	$4$ $4$
		$- 2$ $- 2$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$2$ $2$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$ $- 2$	$1$ $1$	$4$ $4$	$4$ $4$
		$- 2$ $- 2$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$2$ $2$	$0$ $0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

(1) x + 2

$(1) x + 2$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

x + 2

$x + 2$

x + 2

$x + 2$

Schritt 7

Subtrahiere

2

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 2

$x = - 2$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

x + 2

$x + 2$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms

x^{2} + 4 x + 4

$x^{2} + 4 x + 4$ .

x = - 2

$x = - 2$

Schritt 10

Gib DEINE Aufgabe ein