Algebra Beispiele

x^{2} - 5 x + 6

$x^{2} - 5 x + 6$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich

0

$0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

{(2)}^{2} - 5 \cdot 2 + 6

${(2)}^{2} - 5 \cdot 2 + 6$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

0

$0$ , folglich ist

x = 2

$x = 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

4 - 5 \cdot 2 + 6

$4 - 5 \cdot 2 + 6$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere

- 5

$- 5$ mit

2

$2$ .

4 - 10 + 6

$4 - 10 + 6$

4 - 10 + 6

$4 - 10 + 6$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere

10

$10$ von

4

$4$ .

- 6 + 6

$- 6 + 6$

Schritt 4.2.2

Addiere

- 6

$- 6$ und

6

$6$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Schritt 5

2

$2$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch

x - 2

$x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 2}

$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 2}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um

1

$1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$ $2$	$1$ $1$	$- 5$ $- 5$	$6$ $6$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden

(1)

$(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$ $2$	$1$ $1$	$- 5$ $- 5$	$6$ $6$

	$1$ $1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(1)

$(1)$ mit dem Divisor

(2)

$(2)$ und schreibe das Ergebnis von

(2)

$(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 5)

$(- 5)$ .

$2$ $2$	$1$ $1$	$- 5$ $- 5$	$6$ $6$
		$2$ $2$
	$1$ $1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$ $2$	$1$ $1$	$- 5$ $- 5$	$6$ $6$
		$2$ $2$
	$1$ $1$	$- 3$ $- 3$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(- 3)

$(- 3)$ mit dem Divisor

(2)

$(2)$ und schreibe das Ergebnis von

(- 6)

$(- 6)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(6)

$(6)$ .

$2$ $2$	$1$ $1$	$- 5$ $- 5$	$6$ $6$
		$2$ $2$	$- 6$ $- 6$
	$1$ $1$	$- 3$ $- 3$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$ $2$	$1$ $1$	$- 5$ $- 5$	$6$ $6$
		$2$ $2$	$- 6$ $- 6$
	$1$ $1$	$- 3$ $- 3$	$0$ $0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

(1) x - 3

$(1) x - 3$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

x - 3

$x - 3$

x - 3

$x - 3$

Schritt 7

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 3

$x = 3$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

(x - 2) (x - 3)

$(x - 2) (x - 3)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms

x^{2} - 5 x + 6

$x^{2} - 5 x + 6$ .

x = 2, 3

$x = 2, 3$

Schritt 10

Gib DEINE Aufgabe ein