Algebra Beispiele

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

4 \cdot 1 - 3 \cdot 2

$4 \cdot 1 - 3 \cdot 2$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

1

$1$ .

4 - 3 \cdot 2

$4 - 3 \cdot 2$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

2

$2$ .

4 - 6

$4 - 6$

4 - 6

$4 - 6$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere

6

$6$ von

4

$4$ .

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 2} [\begin{matrix} 1 & - 2 - 3 & 4 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

- \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & - 2 - 3 & 4 \end{matrix}]

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \cdot - 2 - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 7.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 2 - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 2

$- 2$ heraus.

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.2.4

Forme den Ausdruck um.

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & - 1 \cdot - 1 - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & - 1 \cdot - 1 - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.4

Multipliziere

- \frac{1}{2} \cdot - 3

$- \frac{1}{2} \cdot - 3$ .

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 3 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.4.2

Kombiniere

3

$3$ und

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 7.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere

2

$2$ aus

4

$4$ heraus.

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) \end{array}]$

Schritt 7.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) \end{array}]$

Schritt 7.5.4

Forme den Ausdruck um.

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 \frac{3}{2} & - 1 \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 \frac{3}{2} & - 1 \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 7.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 \frac{3}{2} & - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} & 1 \frac{3}{2} & - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 2 \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein