Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 3 & 1 3 & 2 & 1 4 & 3 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \end{array}]$

Schritt 1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

1

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3

Die Unterdeterminante für

a_{11}

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multipliziere Element

a_{11}

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Schritt 1.5

Die Unterdeterminante für

a_{12}

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multipliziere Element

a_{12}

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 1.7

Die Unterdeterminante für

a_{13}

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multipliziere Element

a_{13}

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 2

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

4 (2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

4

$4$ .

4 (8 - 3 \cdot 1) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (8 - 3 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

1

$1$ .

4 (8 - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (8 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 (8 - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (8 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere

3

$3$ von

8

$8$ .

4 \cdot 5 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

4 \cdot 5 - 3 (3 \cdot 4 - 4 \cdot 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (3 \cdot 4 - 4 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

4

$4$ .

4 \cdot 5 - 3 (12 - 4 \cdot 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (12 - 4 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere

4

$4$ von

12

$12$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (3 \cdot 3 - 4 \cdot 2)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (3 \cdot 3 - 4 \cdot 2)$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

3

$3$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 4 \cdot 2)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 4 \cdot 2)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

2

$2$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere

8

$8$ von

9

$9$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

5

$5$ .

20 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$20 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

8

$8$ .

20 - 24 + 1 \cdot 1

$20 - 24 + 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere

1

$1$ mit

1

$1$ .

20 - 24 + 1

$20 - 24 + 1$

20 - 24 + 1

$20 - 24 + 1$

Schritt 5.2

Subtrahiere

24

$24$ von

20

$20$ .

- 4 + 1

$- 4 + 1$

Schritt 5.3

Addiere

- 4

$- 4$ und

1

$1$ .

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

Gib DEINE Aufgabe ein