Algebra Beispiele

f (x) = 3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$

Schritt 1

Setze

3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x

$3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$ gleich

0

$0$ .

3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x = 0

$3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere

x

$x$ aus

3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x

$3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere

x

$x$ aus

3 x^{3}

$3 x^{3}$ heraus.

x (3 x^{2}) - 10 x^{2} + 3 x = 0

$x (3 x^{2}) - 10 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere

x

$x$ aus

- 10 x^{2}

$- 10 x^{2}$ heraus.

x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + 3 x = 0

$x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + 3 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere

x

$x$ aus

3 x

$3 x$ heraus.

x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + x \cdot 3 = 0

$x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + x \cdot 3 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere

x

$x$ aus

x (3 x^{2}) + x (- 10 x)

$x (3 x^{2}) + x (- 10 x)$ heraus.

x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3 = 0

$x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere

x

$x$ aus

x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3

$x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3$ heraus.

x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0

$x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0

$x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9

$a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ und deren Summe gleich

b = - 10

$b = - 10$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere

- 10

$- 10$ aus

- 10 x

$- 10 x$ heraus.

x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0

$x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Schreibe

- 10

$- 10$ um als

- 1

$- 1$ plus

- 9

$- 9$

x (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3) = 0

$x (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

x (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0

$x (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0$

x (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0

$x (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

x ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3) = 0

$x ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

x (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0

$x (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0$

x (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0

$x (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

3 x - 1

$3 x - 1$ .

x ((3 x - 1) (x - 3)) = 0

$x ((3 x - 1) (x - 3)) = 0$

x ((3 x - 1) (x - 3)) = 0

$x ((3 x - 1) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

x (3 x - 1) (x - 3) = 0

$x (3 x - 1) (x - 3) = 0$

x (3 x - 1) (x - 3) = 0

$x (3 x - 1) (x - 3) = 0$

x (3 x - 1) (x - 3) = 0

$x (3 x - 1) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

3 x - 1 = 0

$3 x - 1 = 0$

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze

x

$x$ gleich

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze

3 x - 1

$3 x - 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze

3 x - 1

$3 x - 1$ gleich

0

$0$ .

3 x - 1 = 0

$3 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse

3 x - 1 = 0

$3 x - 1 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

3 x = 1

$3 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in

3 x = 1

$3 x = 1$ durch

3

$3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

3 x = 1

$3 x = 1$ durch

3

$3$ .

\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 2.5

Setze

$x - 3$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze

$x - 3$ gleich

$0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$x (3 x - 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{3}, 3$

Schritt 3

Gib DEINE Aufgabe ein