Algebra Beispiele

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ,

x - 4

$x - 4$

Schritt 1

Dividiere

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}$ mittels synthetischer Division und prüfe, ob der Rest gleich

0

$0$ ist. Wenn der Rest gleich

0

$0$ ist, bedeutet dies, dass

x - 4

$x - 4$ ein Teiler von

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ist. Wenn der Rest nicht gleich

0

$0$ ist, bedeutet dies, dass

x - 4

$x - 4$ kein Teiler von

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ist.

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Schritt 1.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

Schritt 1.2

Die erste Zahl im Dividenden

(1)

$(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

	$1$ $1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(1)

$(1)$ mit dem Divisor

(4)

$(4)$ und schreibe das Ergebnis von

(4)

$(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 2)

$(- 2)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$

Schritt 1.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$	$2$ $2$

Schritt 1.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(2)

$(2)$ mit dem Divisor

(4)

$(4)$ und schreibe das Ergebnis von

(8)

$(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 10)

$(- 10)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$
	$1$ $1$	$2$ $2$

Schritt 1.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$
	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$

Schritt 1.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(- 2)

$(- 2)$ mit dem Divisor

(4)

$(4)$ und schreibe das Ergebnis von

(- 8)

$(- 8)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(7)

$(7)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$	$- 8$ $- 8$
	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$

Schritt 1.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$	$- 8$ $- 8$
	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$

Schritt 1.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(- 1)

$(- 1)$ mit dem Divisor

(4)

$(4)$ und schreibe das Ergebnis von

(- 4)

$(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(4)

$(4)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$	$- 8$ $- 8$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$

Schritt 1.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$	$- 8$ $- 8$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$	$0$ $0$

Schritt 1.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 2) x - 1

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 2) x - 1$

Schritt 1.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$

x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$

Schritt 2

Der Rest der Division von

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}$ ist

0

$0$ , was bedeutet, dass

x - 4

$x - 4$ ein Teiler von

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ist.

x - 4

$x - 4$ ist ein Faktor für

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$

Schritt 3

Finde alle möglichen Wurzeln für

x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ .

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Schritt 3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Schritt 3.2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

Schritt 4

Setze die nächste Division an, um festzustellen, ob

x - 1

$x - 1$ ein Faktor des Polynoms

x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ ist.

\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1}{x - 1}

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1}{x - 1}$

Schritt 5

Dividiere den Ausdruck mittels synthetischer Division, um festzustellen, ob er ein Teiler des Polynoms ist. Da

x - 1

$x - 1$

x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ ohne Rest teilt, ist

x - 1

$x - 1$ ein Teiler des Polynoms und es gibt ein Restpolynom

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ .

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Schritt 5.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$

Schritt 5.2

Die erste Zahl im Dividenden

(1)

$(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$

	$1$ $1$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(1)

$(1)$ mit dem Divisor

(1)

$(1)$ und schreibe das Ergebnis von

(1)

$(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(2)

$(2)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

Schritt 5.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(3)

$(3)$ mit dem Divisor

(1)

$(1)$ und schreibe das Ergebnis von

(3)

$(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 2)

$(- 2)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$3$ $3$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Schritt 5.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$3$ $3$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

Schritt 5.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(1)

$(1)$ mit dem Divisor

(1)

$(1)$ und schreibe das Ergebnis von

(1)

$(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 1)

$(- 1)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

Schritt 5.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$

Schritt 5.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

1 x^{2} + 3 x + 1

$1 x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 5.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 6

Finde alle möglichen Wurzeln für

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ .

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Schritt 6.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Schritt 6.2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

Schritt 7

Der letzte Faktor ist der einzige Faktor, der aus der synthetischen Division übrig geblieben ist.

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 8

Das faktorisierte Polynom ist

(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)$ .

(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)$

Gib DEINE Aufgabe ein