Algebra Beispiele

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Schritt 1

Faktorisiere

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Schritt 1.3

Setze

2

$2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

0

$0$ , folglich ist

2

$2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze

2

$2$ in das Polynom ein.

2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 1.3.2

Potenziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 1.3.3

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere

- 6

$- 6$ mit

4

$4$ .

8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere

24

$24$ von

8

$8$ .

- 16 + 12 \cdot 2 - 8

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere

12

$12$ mit

2

$2$ .

- 16 + 24 - 8

$- 16 + 24 - 8$

Schritt 1.3.7

Addiere

- 16

$- 16$ und

24

$24$ .

8 - 8

$8 - 8$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere

8

$8$ von

8

$8$ .

0

$0$

0

$0$

Schritt 1.4

2

$2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch

x - 2

$x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Schritt 1.5

Dividiere

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ durch

x - 2

$x - 2$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

6 x^{2}

$6 x^{2}$

12 x

$12 x$

8

$8$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

x^{3}

$x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$8$ $8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$- 4 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$4 x - 8$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Schritt 1.5.16

Since the remainder is

$0$ , the final answer is the quotient.

$x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 1.6

Schreibe

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe

$4$ als

$2^{2}$ um.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei

$a = x$ und

$b = 2$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 3.1

Potenziere

$x - 2$ mit

$1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 2)}^{1 + 2}$

Schritt 3.3

Addiere

$1$ und

$2$ .

${(x - 2)}^{3}$

Schritt 4

Da das Polynom faktorisiert werden kann, ist es nicht prim.

Nicht prim

Gib DEINE Aufgabe ein