Algebra Beispiele

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$

Schritt 1

Faktorisiere

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1, \pm 9, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1, \pm 9, \pm 3

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

Schritt 1.3

Setze

3

$3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

0

$0$ , folglich ist

3

$3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze

3

$3$ in das Polynom ein.

3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9

$3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

Schritt 1.3.2

Potenziere

3

$3$ mit

3

$3$ .

27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

Schritt 1.3.3

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere

- 6

$- 6$ mit

9

$9$ .

27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere

54

$54$ von

27

$27$ .

- 27 + 12 \cdot 3 - 9

$- 27 + 12 \cdot 3 - 9$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere

12

$12$ mit

3

$3$ .

- 27 + 36 - 9

$- 27 + 36 - 9$

Schritt 1.3.7

Addiere

- 27

$- 27$ und

36

$36$ .

9 - 9

$9 - 9$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere

9

$9$ von

9

$9$ .

0

$0$

0

$0$

Schritt 1.4

3

$3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch

x - 3

$x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}$

Schritt 1.5

Dividiere

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ durch

x - 3

$x - 3$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert

0

$0$ .

x

$x$

3

$3$

x^{3}

$x^{3}$

6 x^{2}

$6 x^{2}$

12 x

$12 x$

9

$9$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

x^{3}

$x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

x^{3} - 3 x^{2}

$x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

- 3 x^{2}

$- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$9 x$ $9 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

- 3 x^{2} + 9 x

$- 3 x^{2} + 9 x$

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

3 x

$3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

3 x - 9

$3 x - 9$

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							-	$3 x$ $3 x$	+	$9$ $9$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							-	$3 x$ $3 x$	+	$9$ $9$
										$0$ $0$

Schritt 1.5.16

Since the remainder is

0

$0$ , the final answer is the quotient.

x^{2} - 3 x + 3

$x^{2} - 3 x + 3$

x^{2} - 3 x + 3

$x^{2} - 3 x + 3$

Schritt 1.6

Schreibe

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ als eine Menge von Faktoren.

(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)

$(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)$

(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)

$(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)$

Schritt 2

Da das Polynom faktorisiert werden kann, ist es nicht prim.

Nicht prim

Gib DEINE Aufgabe ein