Algebra Beispiele

A = [\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}]

$A = [\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

p (λ)

$p (λ)$ zu ermitteln.

p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

2

$2$ ist die

2 \times 2

$2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in

p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze

A

$A$ durch

[\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 3.2

Ersetze

I_{2}

$I_{2}$ durch

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere

- λ

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

p (λ) = Determinante [\begin{matrix} 2 - λ & 1 + 0 4 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Vereinfache jedes Element.

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Schritt 4.3.1

Addiere

$1$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere

$4$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere

$λ$ von

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]$

Schritt 5

Bestimme die Determinante.

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Schritt 5.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ) - 4 \cdot 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 2 (- λ) - λ (- λ) - 4 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$p (λ) = - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.4.1

Multipliziere

$λ$ mit

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.4.1.1

Bewege

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.4.1.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.4.3

Mutltipliziere

$λ^{2}$ mit

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4$

Schritt 5.2.2

Stelle

$- 2 λ$ und

$λ^{2}$ um.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4$

Gib DEINE Aufgabe ein