Algebra Beispiele

$(5, - 3)$ , $(4, - 3)$ , $(- 5, - 3)$

Schritt 1

Es gibt zwei allgemeine Gleichungen für eine Hyperbel.

Horizontale Hyperbelgleichung $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Vertikale Hyperbelgleichung $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 2

$a$ ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt $(4, - 3)$ und dem Mittelpunkt $(5, - 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Addiere $- 3$ und $3$ .

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Schritt 2.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a = \sqrt{1 + 0}$

Schritt 2.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$a = \sqrt{1}$

Schritt 2.3.7

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$a = 1$

Schritt 3

$c$ ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt $(- 5, - 3)$ und dem Mittelpunkt $(5, - 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 3.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Subtrahiere $5$ von $- 5$ .

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Addiere $- 3$ und $3$ .

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Schritt 3.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$c = \sqrt{100 + 0}$

Schritt 3.3.6

Addiere $100$ und $0$ .

$c = \sqrt{100}$

Schritt 3.3.7

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$c = \sqrt{10^{2}}$

Schritt 3.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$c = 10$

Schritt 4

Wir benutzen die Gleichung $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Setze $1$ für $a$ und $10$ für $c$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als ${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ um.

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Schritt 4.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$1 + b^{2} = 100$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b^{2} = 100 - 1$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $1$ von $100$ .

$b^{2} = 99$

Schritt 4.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$b = \pm \sqrt{99}$

Schritt 4.6

Vereinfache $\pm \sqrt{99}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Schreibe $99$ als $3^{2} \cdot 11$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $9$ aus $99$ heraus.

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Schritt 4.6.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Schritt 4.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Schritt 4.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$b = 3 \sqrt{11}$

Schritt 4.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$b = - 3 \sqrt{11}$

Schritt 4.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Schritt 5

$b$ ist ein Abstand, d. h., es sollte eine positive Zahl sein.

$b = 3 \sqrt{11}$

Schritt 6

Die Steigung der Geraden zwischen dem Brennpunkt $(- 5, - 3)$ und dem Mittelpunkt $(5, - 3)$ bestimmt, ob die Hyperbel vertikal oder horizontal ist. Wenn die Steigung gleich $0$ ist, ist der Graph horizontal. Ist die Steigung nicht definiert, ist der Graph vertikal.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von $y$ dividiert durch die Änderung von $x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 6.2

Die Änderung von $x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von $y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 6.3

Setze die Werte von $x$ und $y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{- 3 - (- 3)}{5 - (- 5)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$m = \frac{- 3 + 3}{5 - (- 5)}$

Schritt 6.4.1.2

Addiere $- 3$ und $3$ .

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Schritt 6.4.2.2

Addiere $5$ und $5$ .

$m = \frac{0}{10}$

Schritt 6.4.3

Dividiere $0$ durch $10$ .

$m = 0$

Schritt 6.5

Die allgemeine Gleichung für eine horizontale Hyperbel ist $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 7

Setze die Werte $h = 5$ , $k = - 3$ , $a = 1$ und $b = 3 \sqrt{11}$ in $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ ein, um die Gleichung der Hyperbel $\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ zu erhalten.

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Schritt 8

Vereinfache, um die endgültige Gleichung der Hyperbel zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Schritt 8.3

Dividiere ${(x - 5)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Schritt 8.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.1

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{11}$ an.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Schritt 8.5.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Schritt 8.5.3

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Schritt 8.5.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Schritt 8.5.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Schritt 8.5.3.5

Berechne den Exponenten.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $9$ mit $11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{99} = 1$

Schritt 9

Gib DEINE Aufgabe ein