Algebra Beispiele

$(1, 1, 1)$ , $(1, 2, 3)$ , $(2, 2, 2)$ , $(4, 7, 10)$

Schritt 1

Gegeben seien die Punkte $C = (2, 2, 2)$ und $D = (4, 7, 10)$ . Finde eine Ebene, die die Punkte $A = (1, 1, 1)$ und $B = (1, 2, 3)$ enthält und die parallel zur Geraden $CD$ ist.

$A = (1, 1, 1)$

$B = (1, 2, 3)$

$C = (2, 2, 2)$

$D = (4, 7, 10)$

Schritt 2

Berechne zunächst den Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte $C$ und $D$ . Dies kann erreicht werden, indem die Koordinatenwerte von Punkt $C$ von Punkt $D$ subtrahiert werden.

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Schritt 3

Ersetze die $x$ -, $y$ - und $z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor $V_{CD}$ für die Gerade $CD$ zu ermitteln.

$V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩$

Schritt 4

Berechne den Richtungsvektor einer Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ mithilfe derselben Methode.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Schritt 5

Ersetze die $x$ -, $y$ - und $z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor $V_{AB}$ für die Gerade $AB$ zu ermitteln.

$V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩$

Schritt 6

Die Lösungsebene enthält eine Gerade, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft, mit dem Richtungsvektor $V_{A B}$ . Um festzustellen, ob diese Ebene parallel zur Geraden $C D$ verläuft, ermittle den Normalenvektor der Ebene, welcher auch orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden $C D$ ist. Berechne den Normalenvektor durch Ermitteln des Kreuzproduktes $V_{A B}$ x $V_{C D}$ durch Ermitteln der Determinante der Matrix $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \end{array}]$

Schritt 7

Berechne die Determinante.

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Schritt 7.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 7.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 7.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 7.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Schritt 7.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Schritt 7.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 7.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j$

Schritt 7.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 7.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Schritt 7.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Schritt 7.2

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$ .

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Schritt 7.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$i (8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $10$ von $8$ .

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Schritt 7.3

Berechne $| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$ .

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Schritt 7.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $8$ .

$i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Schritt 7.4

Berechne $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$ .

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Schritt 7.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $5$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k$

Schritt 7.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

Schritt 7.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

Schritt 7.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $i$ .

$- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- 2 i + 4 j - 2 k$

Schritt 8

Löse den Ausdruck $(- 2) x + (4) y + (- 2) z$ am Punkt $A$ , da er in der Ebene ist. Dies wird angewendet, um die Konstante in der Gleichung für die Ebene zu berechnen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + 4 - 2$

Schritt 8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.1

Addiere $- 2$ und $4$ .

$2 - 2$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 9

Addiere die Konstante, sodass sich die Gleichung der Ebene zu $(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$ ergibt.

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$

Schritt 10

Mutltipliziere $- 2$ mit $z$ .

$- 2 x + 4 y - 2 z = 0$

Gib DEINE Aufgabe ein