Algebra Beispiele

(2, 6, - 8)

$(2, 6, - 8)$ ,

(- 12, - 2, - 1)

$(- 12, - 2, - 1)$ ,

(- 2, 8, 9)

$(- 2, 8, 9)$ ,

(3, 0, 0)

$(3, 0, 0)$

Schritt 1

Gegeben seien die Punkte

C = (- 2, 8, 9)

$C = (- 2, 8, 9)$ und

D = (3, 0, 0)

$D = (3, 0, 0)$ . Finde eine Ebene, die die Punkte

A = (2, 6, - 8)

$A = (2, 6, - 8)$ und

B = (- 12, - 2, - 1)

$B = (- 12, - 2, - 1)$ enthält und die parallel zur Geraden

CD

$CD$ ist.

A = (2, 6, - 8)

$A = (2, 6, - 8)$

B = (- 12, - 2, - 1)

$B = (- 12, - 2, - 1)$

C = (- 2, 8, 9)

$C = (- 2, 8, 9)$

D = (3, 0, 0)

$D = (3, 0, 0)$

Schritt 2

Berechne zunächst den Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte

C

$C$ und

D

$D$ . Dies kann erreicht werden, indem die Koordinatenwerte von Punkt

C

$C$ von Punkt

D

$D$ subtrahiert werden.

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Schritt 3

Ersetze die

x

$x$ -,

y

$y$ - und

z

$z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor

V_{CD}

$V_{CD}$ für die Gerade

CD

$CD$ zu ermitteln.

V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩$

Schritt 4

Berechne den Richtungsvektor einer Geraden durch die Punkte

A

$A$ und

B

$B$ mithilfe derselben Methode.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Schritt 5

Ersetze die

x

$x$ -,

y

$y$ - und

z

$z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor

V_{AB}

$V_{AB}$ für die Gerade

AB

$AB$ zu ermitteln.

V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩$

Schritt 6

Die Lösungsebene enthält eine Gerade, die durch die Punkte

A

$A$ und

B

$B$ verläuft, mit dem Richtungsvektor

V_{A B}

$V_{A B}$ . Um festzustellen, ob diese Ebene parallel zur Geraden

C D

$C D$ verläuft, ermittle den Normalenvektor der Ebene, welcher auch orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden

C D

$C D$ ist. Berechne den Normalenvektor durch Ermitteln des Kreuzproduktes

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ durch Ermitteln der Determinante der Matrix

[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]$

Schritt 7

Berechne die Determinante.

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Schritt 7.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

1

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 7.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 7.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 7.1.3

Die Unterdeterminante für

a_{11}

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Schritt 7.1.4

Multipliziere Element

a_{11}

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Schritt 7.1.5

Die Unterdeterminante für

a_{12}

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$

Schritt 7.1.6

Multipliziere Element

a_{12}

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j

$- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j$

Schritt 7.1.7

Die Unterdeterminante für

a_{13}

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$

Schritt 7.1.8

Multipliziere Element

a_{13}

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.2

Berechne

| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$ .

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Schritt 7.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1

Mutltipliziere

- 8

$- 8$ mit

- 9

$- 9$ .

i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.1.2

Multipliziere

- (- 8 \cdot 7)

$- (- 8 \cdot 7)$ .

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Schritt 7.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 8

$- 8$ mit

7

$7$ .

i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 56

$- 56$ .

i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.2

Addiere

72

$72$ und

56

$56$ .

i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.3

Berechne

| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$ .

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Schritt 7.3.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1.1

Mutltipliziere

- 14

$- 14$ mit

- 9

$- 9$ .

i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.1.2

Mutltipliziere

- 5

$- 5$ mit

7

$7$ .

i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.2

Subtrahiere

35

$35$ von

126

$126$ .

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Schritt 7.4

Berechne

| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$ .

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Schritt 7.4.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1.1

Mutltipliziere

- 14

$- 14$ mit

- 8

$- 8$ .

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k$

Schritt 7.4.2.1.2

Mutltipliziere

- 5

$- 5$ mit

- 8

$- 8$ .

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

Schritt 7.4.2.2

Addiere

112

$112$ und

40

$40$ .

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Schritt 7.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1

Bringe

128

$128$ auf die linke Seite von

i

$i$ .

128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k

$128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

91

$91$ .

128 i - 91 j + 152 k

$128 i - 91 j + 152 k$

128 i - 91 j + 152 k

$128 i - 91 j + 152 k$

128 i - 91 j + 152 k

$128 i - 91 j + 152 k$

Schritt 8

Löse den Ausdruck

(128) x + (- 91) y + (152) z

$(128) x + (- 91) y + (152) z$ am Punkt

A

$A$ , da er in der Ebene ist. Dies wird angewendet, um die Konstante in der Gleichung für die Ebene zu berechnen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere

128

$128$ mit

2

$2$ .

256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8

$256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere

- 91

$- 91$ mit

6

$6$ .

256 - 546 + (152) \cdot - 8

$256 - 546 + (152) \cdot - 8$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere

152

$152$ mit

- 8

$- 8$ .

256 - 546 - 1216

$256 - 546 - 1216$

256 - 546 - 1216

$256 - 546 - 1216$

Schritt 8.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere

546

$546$ von

256

$256$ .

- 290 - 1216

$- 290 - 1216$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere

1216

$1216$ von

- 290

$- 290$ .

- 1506

$- 1506$

- 1506

$- 1506$

- 1506

$- 1506$

Schritt 9

Addiere die Konstante, sodass sich die Gleichung der Ebene zu

(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$ ergibt.

(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$

Schritt 10

Mutltipliziere

152

$152$ mit

z

$z$ .

128 x - 91 y + 152 z = - 1506

$128 x - 91 y + 152 z = - 1506$

Gib DEINE Aufgabe ein