Algebra Beispiele

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ ,

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$

Schritt 1

Um den Schnittpunkt der Geraden durch einen Punkt

(p, q, r)

$(p, q, r)$ senkrecht zur Ebene

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ und Ebene

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ zu finden:

1. Finde die Normalvektoren von Ebene

P_{1}

$P_{1}$ und Ebene

P_{2}

$P_{2}$ , wobei die Normalvektoren

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ und

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ sind. Prüfe, ob das Skalarprodukt 0 ist.

2. Stelle einen Satz parametrischer Gleichungen auf, sodass

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ und

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Setze diese Gleichungen in die Gleichung für die Ebene

P_{2}

$P_{2}$ ein, sodass

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ und löse nach

t

$t$ auf.

4. Löse die parametrischen Gleichungen

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ und

z = r + c t

$z = r + c t$ unter Verwendung des Wertes von

t

$t$ nach

t

$t$ auf, um den Schnittpunkt

(x, y, z)

$(x, y, z)$ zu finden.

Schritt 2

Ermittle die Normalenvektoren für jede Ebene und stelle fest, ob sie senkrecht zueinander sind durch Berechnung des Skalarprodukts.

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Schritt 2.1

P_{1}

$P_{1}$ ist

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ . Finde den Normalvektor

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ der Ebenengleichung der Form

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Schritt 2.2

P_{2}

$P_{2}$ ist

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$ . Finde den Normalvektor

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ der Ebenengleichung der Form

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

Schritt 2.3

Berechne das Skalarprodukt von

n_{1}

$n_{1}$ und

n_{2}

$n_{2}$ , durch Summieren der Produkte der entsprechenden

x

$x$ ,

y

$y$ und

z

$z$ Werte in den Normalvektoren.

3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4

Vereinfache das Skalarprodukt.

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Schritt 2.4.1

Entferne die Klammern.

3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

1

$1$ .

3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 2

$- 2$ .

3 + 2 + 0 \cdot 0

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere

0

$0$ mit

0

$0$ .

3 + 2 + 0

$3 + 2 + 0$

3 + 2 + 0

$3 + 2 + 0$

Schritt 2.4.3

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.4.3.1

Addiere

3

$3$ und

2

$2$ .

5 + 0

$5 + 0$

Schritt 2.4.3.2

Addiere

5

$5$ und

0

$0$ .

5

$5$

5

$5$

5

$5$

5

$5$

Schritt 3

Als Nächstes erzeuge einen Satz parametrischer Gleichungen

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ und

z = r + c t

$z = r + c t$ unter Verwendung des Ursprungs

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ für den Punkt

(p, q, r)

$(p, q, r)$ und der Werte des Normalenvektors

5

$5$ für die Werte von

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ . Dieser Satz Parameterdarstellungen stellt die Gerade durch den Ursprung dar, die senkrecht auf

P_{1}

$P_{1}$

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ steht.

x = 0 + 3 \cdot t

$x = 0 + 3 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Schritt 4

Setze den Ausdruck für

x

$x$ ,

y

$y$ und

z

$z$ in die Gleichung für

P_{2}

$P_{2}$ ,

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$ , ein.

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach

t

$t$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

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Schritt 5.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Addiere

0

$0$ und

3 \cdot t

$3 \cdot t$ .

3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Schritt 5.1.1.2

Subtrahiere

1 \cdot t

$1 \cdot t$ von

0

$0$ .

3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

Schritt 5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1

Schreibe

- 1 t

$- 1 t$ als

- t

$- t$ um.

3 t - 2 (- t) = - 3

$3 t - 2 (- t) = - 3$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 2

$- 2$ .

3 t + 2 t = - 3

$3 t + 2 t = - 3$

3 t + 2 t = - 3

$3 t + 2 t = - 3$

Schritt 5.1.3

Addiere

3 t

$3 t$ und

2 t

$2 t$ .

5 t = - 3

$5 t = - 3$

5 t = - 3

$5 t = - 3$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in

5 t = - 3

$5 t = - 3$ durch

5

$5$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in

5 t = - 3

$5 t = - 3$ durch

5

$5$ .

\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

5

$5$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere

t

$t$ durch

1

$1$ .

t = \frac{- 3}{5}

$t = \frac{- 3}{5}$

t = \frac{- 3}{5}

$t = \frac{- 3}{5}$

t = \frac{- 3}{5}

$t = \frac{- 3}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

t = - \frac{3}{5}

$t = - \frac{3}{5}$

t = - \frac{3}{5}

$t = - \frac{3}{5}$

t = - \frac{3}{5}

$t = - \frac{3}{5}$

t = - \frac{3}{5}

$t = - \frac{3}{5}$

Schritt 6

Löse die parametrischen Gleichungen nach

x

$x$ ,

y

$y$ und

z

$z$ auf durch Verwendung des Wertes von

t

$t$ .

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Schritt 6.1

Löse die Gleichung nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Entferne die Klammern.

x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Schritt 6.1.2

Entferne die Klammern.

x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

Schritt 6.1.3

Vereinfache

0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})

$0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.3.1.1

Multipliziere

3 (- \frac{3}{5})

$3 (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.1.3.1.1.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

3

$3$ .

x = 0 - 3 (\frac{3}{5})

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

Schritt 6.1.3.1.1.2

Kombiniere

- 3

$- 3$ und

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ .

x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

Schritt 6.1.3.1.1.3

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

3

$3$ .

x = 0 + \frac{- 9}{5}

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

x = 0 + \frac{- 9}{5}

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

Schritt 6.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

x = 0 - \frac{9}{5}

$x = 0 - \frac{9}{5}$

x = 0 - \frac{9}{5}

$x = 0 - \frac{9}{5}$

Schritt 6.1.3.2

Subtrahiere

\frac{9}{5}

$\frac{9}{5}$ von

0

$0$ .

x = - \frac{9}{5}

$x = - \frac{9}{5}$

x = - \frac{9}{5}

$x = - \frac{9}{5}$

x = - \frac{9}{5}

$x = - \frac{9}{5}$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach

y

$y$ auf.

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Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Schritt 6.2.2

Entferne die Klammern.

y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

Schritt 6.2.3

Vereinfache

0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})

$0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.2.3.1

Multipliziere

- 1 (- \frac{3}{5})

$- 1 (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

y = 0 + 1 (\frac{3}{5})

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

Schritt 6.2.3.1.2

Mutltipliziere

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ mit

1

$1$ .

y = 0 + \frac{3}{5}

$y = 0 + \frac{3}{5}$

y = 0 + \frac{3}{5}

$y = 0 + \frac{3}{5}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere

0

$0$ und

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ .

y = \frac{3}{5}

$y = \frac{3}{5}$

y = \frac{3}{5}

$y = \frac{3}{5}$

y = \frac{3}{5}

$y = \frac{3}{5}$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach

z

$z$ auf.

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Schritt 6.3.1

Entferne die Klammern.

z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Schritt 6.3.2

Entferne die Klammern.

z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

Schritt 6.3.3

Vereinfache

0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})

$0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere

0 (- \frac{3}{5})

$0 (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 6.3.3.1.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

0

$0$ .

z = 0 + 0 (\frac{3}{5})

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

Schritt 6.3.3.1.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ .

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

Schritt 6.3.3.2

Addiere

0

$0$ und

0

$0$ .

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

Schritt 6.4

Die gelösten parametrischen Gleichungen für

x

$x$ ,

y

$y$ und

z

$z$ .

x = - \frac{9}{5}

$x = - \frac{9}{5}$

y = \frac{3}{5}

$y = \frac{3}{5}$

z = 0

$z = 0$

x = - \frac{9}{5}

$x = - \frac{9}{5}$

y = \frac{3}{5}

$y = \frac{3}{5}$

z = 0

$z = 0$

Schritt 7

Die für

x

$x$ ,

y

$y$ und

z

$z$ berechneten Wertte anwenden, der Schnittpunkt ist

(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ .

(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

Gib DEINE Aufgabe ein