Beispiele

2^{2 x + 4} = 3

$2^{2 x + 4} = 3$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

\ln (2^{2 x + 4}) = \ln (3)

$\ln (2^{2 x + 4}) = \ln (3)$

Schritt 2

Zerlege

\ln (2^{2 x + 4})

$\ln (2^{2 x + 4})$ durch Herausziehen von

2 x + 4

$2 x + 4$ aus dem Logarithmus.

(2 x + 4) \ln (2) = \ln (3)

$(2 x + 4) \ln (2) = \ln (3)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

2 x \ln (2) + 4 \ln (2) = \ln (3)

$2 x \ln (2) + 4 \ln (2) = \ln (3)$

2 x \ln (2) + 4 \ln (2) = \ln (3)

$2 x \ln (2) + 4 \ln (2) = \ln (3)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

2 x \ln (2) + 4 \ln (2) - \ln (3) = 0

$2 x \ln (2) + 4 \ln (2) - \ln (3) = 0$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht

x

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere

4 \ln (2)

$4 \ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 x \ln (2) - \ln (3) = - 4 \ln (2)

$2 x \ln (2) - \ln (3) = - 4 \ln (2)$

Schritt 5.2

Addiere

\ln (3)

$\ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 x \ln (2) = - 4 \ln (2) + \ln (3)

$2 x \ln (2) = - 4 \ln (2) + \ln (3)$

2 x \ln (2) = - 4 \ln (2) + \ln (3)

$2 x \ln (2) = - 4 \ln (2) + \ln (3)$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in

2 x \ln (2) = - 4 \ln (2) + \ln (3)

$2 x \ln (2) = - 4 \ln (2) + \ln (3)$ durch

2 \ln (2)

$2 \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in

2 x \ln (2) = - 4 \ln (2) + \ln (3)

$2 x \ln (2) = - 4 \ln (2) + \ln (3)$ durch

2 \ln (2)

$2 \ln (2)$ .

\frac{2 x \ln (2)}{2 \ln (2)} = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$\frac{2 x \ln (2)}{2 \ln (2)} = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 x \ln (2)}{2 \ln (2)} = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$\frac{2 x \ln (2)}{2 \ln (2)} = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Schritt 6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

\ln (2)

$\ln (2)$ .

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

x = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

x = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = \frac{- 4 \ln (2)}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 4

$- 4$ und

2

$2$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 4 \ln (2)

$- 4 \ln (2)$ heraus.

x = \frac{2 (- 2 \ln (2))}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = \frac{2 (- 2 \ln (2))}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \ln (2)

$2 \ln (2)$ heraus.

x = \frac{2 (- 2 \ln (2))}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = \frac{2 (- 2 \ln (2))}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

x = \frac{2 (- 2 \ln (2))}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = \frac{2 (- 2 \ln (2))}{2 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Schritt 6.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

\ln (2)

$\ln (2)$ .

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Schritt 6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Schritt 6.3.1.2.2

Dividiere

- 2

$- 2$ durch

1

$1$ .

x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}

$x = - 2 + \frac{\ln (3)}{2 \ln (2)}$

Dezimalform:

x = - 1.20751874 \dots

$x = - 1.20751874 \dots$

Gib DEINE Aufgabe ein