Beispiele
[350750110]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦
Schritt 1
Schritt 1.1
Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung p(λ)p(λ) zu ermitteln.
p(λ)=Determinante(A-λI3)p(λ)=Determinante(A−λI3)
Schritt 1.2
Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe 33 ist die 3×33×3 Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
Schritt 1.3
Setze die bekannten Werte in p(λ)=Determinante(A-λI3)p(λ)=Determinante(A−λI3) ein.
Schritt 1.3.1
Ersetze AA durch [350750110]⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦.
p(λ)=Determinante([350750110]-λI3)p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦−λI3⎞⎟⎠
Schritt 1.3.2
Ersetze I3I3 durch [100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦.
p(λ)=Determinante([350750110]-λ[100010001])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=Determinante([350750110]-λ[100010001])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4
Vereinfache.
Schritt 1.4.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.4.1.1
Multipliziere -λ−λ mit jedem Element der Matrix.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Schritt 1.4.1.2.1
Mutltipliziere -1−1 mit 11.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.2
Multipliziere -λ⋅0−λ⋅0.
Schritt 1.4.1.2.2.1
Mutltipliziere 00 mit -1−1.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.2.2
Mutltipliziere 00 mit λλ.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.3
Multipliziere -λ⋅0−λ⋅0.
Schritt 1.4.1.2.3.1
Mutltipliziere 00 mit -1−1.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00λ−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.3.2
Mutltipliziere 00 mit λλ.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.4
Multipliziere -λ⋅0−λ⋅0.
Schritt 1.4.1.2.4.1
Mutltipliziere 00 mit -1−1.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000λ−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.4.2
Mutltipliziere 00 mit λλ.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.5
Mutltipliziere -1−1 mit 11.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.6
Multipliziere -λ⋅0−λ⋅0.
Schritt 1.4.1.2.6.1
Mutltipliziere 00 mit -1−1.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.6.2
Mutltipliziere 00 mit λλ.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.7
Multipliziere -λ⋅0−λ⋅0.
Schritt 1.4.1.2.7.1
Mutltipliziere 00 mit -1−1.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00λ−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.7.2
Mutltipliziere 00 mit λλ.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.8
Multipliziere -λ⋅0−λ⋅0.
Schritt 1.4.1.2.8.1
Mutltipliziere 00 mit -1−1.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000λ−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.8.2
Mutltipliziere 00 mit λλ.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.1.2.9
Mutltipliziere -1−1 mit 11.
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=Determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=Determinante⎛⎜⎝⎡⎢⎣350750110⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 1.4.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
p(λ)=Determinante[3-λ5+00+07+05-λ0+01+01+00-λ]p(λ)=Determinante⎡⎢⎣3−λ5+00+07+05−λ0+01+01+00−λ⎤⎥⎦
Schritt 1.4.3
Simplify each element.
Schritt 1.4.3.1
Addiere 55 und 00.
p(λ)=Determinante[3-λ50+07+05-λ0+01+01+00-λ]p(λ)=Determinante⎡⎢⎣3−λ50+07+05−λ0+01+01+00−λ⎤⎥⎦
Schritt 1.4.3.2
Addiere 00 und 00.
p(λ)=Determinante[3-λ507+05-λ0+01+01+00-λ]p(λ)=Determinante⎡⎢⎣3−λ507+05−λ0+01+01+00−λ⎤⎥⎦
Schritt 1.4.3.3
Addiere 77 und 00.
p(λ)=Determinante[3-λ5075-λ0+01+01+00-λ]p(λ)=Determinante⎡⎢⎣3−λ5075−λ0+01+01+00−λ⎤⎥⎦
Schritt 1.4.3.4
Addiere 00 und 00.
p(λ)=Determinante[3-λ5075-λ01+01+00-λ]p(λ)=Determinante⎡⎢⎣3−λ5075−λ01+01+00−λ⎤⎥⎦
Schritt 1.4.3.5
Addiere 11 und 00.
p(λ)=Determinante[3-λ5075-λ011+00-λ]p(λ)=Determinante⎡⎢⎣3−λ5075−λ011+00−λ⎤⎥⎦
Schritt 1.4.3.6
Addiere 11 und 00.
p(λ)=Determinante[3-λ5075-λ0110-λ]p(λ)=Determinante⎡⎢⎣3−λ5075−λ0110−λ⎤⎥⎦
Schritt 1.4.3.7
Subtrahiere λλ von 00.
p(λ)=Determinante[3-λ5075-λ011-λ]p(λ)=Determinante⎡⎢⎣3−λ5075−λ011−λ⎤⎥⎦
p(λ)=Determinante[3-λ5075-λ011-λ]p(λ)=Determinante⎡⎢⎣3−λ5075−λ011−λ⎤⎥⎦
p(λ)=Determinante[3-λ5075-λ011-λ]p(λ)=Determinante⎡⎢⎣3−λ5075−λ011−λ⎤⎥⎦
Schritt 1.5
Find the determinant.
Schritt 1.5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in column 3 by its cofactor and add.
Schritt 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
Schritt 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
Schritt 1.5.1.3
The minor for a13 is the determinant with row 1 and column 3 deleted.
|75-λ11|
Schritt 1.5.1.4
Multiply element a13 by its cofactor.
0|75-λ11|
Schritt 1.5.1.5
The minor for a23 is the determinant with row 2 and column 3 deleted.
|3-λ511|
Schritt 1.5.1.6
Multiply element a23 by its cofactor.
0|3-λ511|
Schritt 1.5.1.7
The minor for a33 is the determinant with row 3 and column 3 deleted.
|3-λ575-λ|
Schritt 1.5.1.8
Multiply element a33 by its cofactor.
-λ|3-λ575-λ|
Schritt 1.5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Schritt 1.5.2
Mutltipliziere 0 mit |75-λ11|.
p(λ)=0+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Schritt 1.5.3
Mutltipliziere 0 mit |3-λ511|.
p(λ)=0+0-λ|3-λ575-λ|
Schritt 1.5.4
Berechne |3-λ575-λ|.
Schritt 1.5.4.1
Die Determinante einer 2×2-Matrix kann mithilfe der Formel |abcd|=ad-cb bestimmt werden.
p(λ)=0+0-λ((3-λ)(5-λ)-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2
Vereinfache die Determinante.
Schritt 1.5.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.5.4.2.1.1
Multipliziere (3-λ)(5-λ) aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 1.5.4.2.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
p(λ)=0+0-λ(3(5-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.2
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Schritt 1.5.4.2.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.1
Mutltipliziere 3 mit 5.
p(λ)=0+0-λ(15+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.2
Mutltipliziere -1 mit 3.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.3
Mutltipliziere 5 mit -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-λ(-λ)-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5
Multipliziere λ mit λ durch Addieren der Exponenten.
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Bewege λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Mutltipliziere λ mit λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.6
Mutltipliziere -1 mit -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+1λ2-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.7
Mutltipliziere λ2 mit 1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.2.2
Subtrahiere 5λ von -3λ.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
Schritt 1.5.4.2.1.3
Mutltipliziere -7 mit 5.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
Schritt 1.5.4.2.2
Subtrahiere 35 von 15.
p(λ)=0+0-λ(-8λ+λ2-20)
Schritt 1.5.4.2.3
Stelle -8λ und λ2 um.
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
Schritt 1.5.5
Vereinfache die Determinante.
Schritt 1.5.5.1
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in 0+0-λ(λ2-8λ-20).
Schritt 1.5.5.1.1
Addiere 0 und 0.
p(λ)=0-λ(λ2-8λ-20)
Schritt 1.5.5.1.2
Subtrahiere λ(λ2-8λ-20) von 0.
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
Schritt 1.5.5.2
Wende das Distributivgesetz an.
p(λ)=-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20
Schritt 1.5.5.3
Vereinfache.
Schritt 1.5.5.3.1
Multipliziere λ mit λ2 durch Addieren der Exponenten.
Schritt 1.5.5.3.1.1
Bewege λ2.
p(λ)=-(λ2λ)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Schritt 1.5.5.3.1.2
Mutltipliziere λ2 mit λ.
Schritt 1.5.5.3.1.2.1
Potenziere λ mit 1.
p(λ)=-(λ2λ1)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Schritt 1.5.5.3.1.2.2
Wende die Exponentenregel aman=am+n an, um die Exponenten zu kombinieren.
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
Schritt 1.5.5.3.1.3
Addiere 2 und 1.
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
Schritt 1.5.5.3.2
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ-λ⋅-20
Schritt 1.5.5.3.3
Mutltipliziere -20 mit -1.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
Schritt 1.5.5.4
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.5.5.4.1
Multipliziere λ mit λ durch Addieren der Exponenten.
Schritt 1.5.5.4.1.1
Bewege λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8(λ⋅λ)+20λ
Schritt 1.5.5.4.1.2
Mutltipliziere λ mit λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
Schritt 1.5.5.4.2
Mutltipliziere -1 mit -8.
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
Schritt 1.6
Setze das charakteristische Polynom gleich 0, um die Eigenwerte λ zu ermitteln.
-λ3+8λ2+20λ=0
Schritt 1.7
Löse nach λ auf.
Schritt 1.7.1
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
Schritt 1.7.1.1
Faktorisiere -λ aus -λ3+8λ2+20λ heraus.
Schritt 1.7.1.1.1
Faktorisiere -λ aus -λ3 heraus.
-λ⋅λ2+8λ2+20λ=0
Schritt 1.7.1.1.2
Faktorisiere -λ aus 8λ2 heraus.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)+20λ=0
Schritt 1.7.1.1.3
Faktorisiere -λ aus 20λ heraus.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20=0
Schritt 1.7.1.1.4
Faktorisiere -λ aus -λ(λ2)-λ(-8λ) heraus.
-λ(λ2-8λ)-λ⋅-20=0
Schritt 1.7.1.1.5
Faktorisiere -λ aus -λ(λ2-8λ)-λ(-20) heraus.
-λ(λ2-8λ-20)=0
-λ(λ2-8λ-20)=0
Schritt 1.7.1.2
Faktorisiere.
Schritt 1.7.1.2.1
Faktorisiere λ2-8λ-20 unter der Verwendung der AC-Methode.
Schritt 1.7.1.2.1.1
Betrachte die Form x2+bx+c. Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt c und deren Summe b ist. In diesem Fall, deren Produkt -20 und deren Summe -8 ist.
-10,2
Schritt 1.7.1.2.1.2
Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.
-λ((λ-10)(λ+2))=0
-λ((λ-10)(λ+2))=0
Schritt 1.7.1.2.2
Entferne unnötige Klammern.
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
Schritt 1.7.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich 0 ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich 0.
λ=0
λ-10=0
λ+2=0
Schritt 1.7.3
Setze λ gleich 0.
λ=0
Schritt 1.7.4
Setze λ-10 gleich 0 und löse nach λ auf.
Schritt 1.7.4.1
Setze λ-10 gleich 0.
λ-10=0
Schritt 1.7.4.2
Addiere 10 zu beiden Seiten der Gleichung.
λ=10
λ=10
Schritt 1.7.5
Setze λ+2 gleich 0 und löse nach λ auf.
Schritt 1.7.5.1
Setze λ+2 gleich 0.
λ+2=0
Schritt 1.7.5.2
Subtrahiere 2 von beiden Seiten der Gleichung.
λ=-2
λ=-2
Schritt 1.7.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die -λ(λ-10)(λ+2)=0 wahr machen.
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
Schritt 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI3)
Schritt 3
Schritt 3.1
Setze die bekannten Werte in die Formel ein.
N([350750110]+0[100010001])
Schritt 3.2
Vereinfache.
Schritt 3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.2.1.1
Multipliziere 0 mit jedem Element der Matrix.
[350750110]+[0⋅10⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Schritt 3.2.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Schritt 3.2.1.2.1
Mutltipliziere 0 mit 1.
[350750110]+[00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Schritt 3.2.1.2.2
Mutltipliziere 0 mit 0.
[350750110]+[000⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Schritt 3.2.1.2.3
Mutltipliziere 0 mit 0.
[350750110]+[0000⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Schritt 3.2.1.2.4
Mutltipliziere 0 mit 0.
[350750110]+[00000⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Schritt 3.2.1.2.5
Mutltipliziere 0 mit 1.
[350750110]+[000000⋅00⋅00⋅00⋅1]
Schritt 3.2.1.2.6
Mutltipliziere 0 mit 0.
[350750110]+[0000000⋅00⋅00⋅1]
Schritt 3.2.1.2.7
Mutltipliziere 0 mit 0.
[350750110]+[00000000⋅00⋅1]
Schritt 3.2.1.2.8
Mutltipliziere 0 mit 0.
[350750110]+[000000000⋅1]
Schritt 3.2.1.2.9
Mutltipliziere 0 mit 1.
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
Schritt 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
Schritt 3.2.2.1
Addiere die entsprechenden Elemente.
[3+05+00+07+05+00+01+01+00+0]
Schritt 3.2.2.2
Simplify each element.
Schritt 3.2.2.2.1
Addiere 3 und 0.
[35+00+07+05+00+01+01+00+0]
Schritt 3.2.2.2.2
Addiere 5 und 0.
[350+07+05+00+01+01+00+0]
Schritt 3.2.2.2.3
Addiere 0 und 0.
[3507+05+00+01+01+00+0]
Schritt 3.2.2.2.4
Addiere 7 und 0.
[35075+00+01+01+00+0]
Schritt 3.2.2.2.5
Addiere 5 und 0.
[350750+01+01+00+0]
Schritt 3.2.2.2.6
Addiere 0 und 0.
[3507501+01+00+0]
Schritt 3.2.2.2.7
Addiere 1 und 0.
[35075011+00+0]
Schritt 3.2.2.2.8
Addiere 1 und 0.
[350750110+0]
Schritt 3.2.2.2.9
Addiere 0 und 0.
[350750110]
[350750110]
[350750110]
[350750110]
Schritt 3.3
Find the null space when λ=0.
Schritt 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[350075001100]
Schritt 3.3.2
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
Schritt 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by 13 to make the entry at 1,1 a 1.
Schritt 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 13 to make the entry at 1,1 a 1.
[3353030375001100]
Schritt 3.3.2.1.2
Vereinfache R1.
[1530075001100]
[1530075001100]
Schritt 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-7R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Schritt 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-7R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[153007-7⋅15-7(53)0-7⋅00-7⋅01100]
Schritt 3.3.2.2.2
Vereinfache R2.
[153000-203001100]
[153000-203001100]
Schritt 3.3.2.3
Perform the row operation R3=R3-R1 to make the entry at 3,1 a 0.
Schritt 3.3.2.3.1
Perform the row operation R3=R3-R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[153000-203001-11-530-00-0]
Schritt 3.3.2.3.2
Vereinfache R3.
[153000-203000-2300]
[153000-203000-2300]
Schritt 3.3.2.4
Multiply each element of R2 by -320 to make the entry at 2,2 a 1.
Schritt 3.3.2.4.1
Multiply each element of R2 by -320 to make the entry at 2,2 a 1.
[15300-320⋅0-320(-203)-320⋅0-320⋅00-2300]
Schritt 3.3.2.4.2
Vereinfache R2.
[1530001000-2300]
[1530001000-2300]
Schritt 3.3.2.5
Perform the row operation R3=R3+23R2 to make the entry at 3,2 a 0.
Schritt 3.3.2.5.1
Perform the row operation R3=R3+23R2 to make the entry at 3,2 a 0.
[1530001000+23⋅0-23+23⋅10+23⋅00+23⋅0]
Schritt 3.3.2.5.2
Vereinfache R3.
[1530001000000]
[1530001000000]
Schritt 3.3.2.6
Perform the row operation R1=R1-53R2 to make the entry at 1,2 a 0.
Schritt 3.3.2.6.1
Perform the row operation R1=R1-53R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1-53⋅053-53⋅10-53⋅00-53⋅001000000]
Schritt 3.3.2.6.2
Vereinfache R1.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
Schritt 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x=0
y=0
0=0
Schritt 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[00z]
Schritt 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[001]
Schritt 3.3.6
Write as a solution set.
{z[001]|z∈R}
Schritt 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
Schritt 4
Schritt 4.1
Setze die bekannten Werte in die Formel ein.
N([350750110]-10[100010001])
Schritt 4.2
Vereinfache.
Schritt 4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.2.1.1
Multipliziere -10 mit jedem Element der Matrix.
[350750110]+[-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Schritt 4.2.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Schritt 4.2.1.2.1
Mutltipliziere -10 mit 1.
[350750110]+[-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Schritt 4.2.1.2.2
Mutltipliziere -10 mit 0.
[350750110]+[-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Schritt 4.2.1.2.3
Mutltipliziere -10 mit 0.
[350750110]+[-1000-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Schritt 4.2.1.2.4
Mutltipliziere -10 mit 0.
[350750110]+[-10000-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Schritt 4.2.1.2.5
Mutltipliziere -10 mit 1.
[350750110]+[-10000-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Schritt 4.2.1.2.6
Mutltipliziere -10 mit 0.
[350750110]+[-10000-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Schritt 4.2.1.2.7
Mutltipliziere -10 mit 0.
[350750110]+[-10000-1000-10⋅0-10⋅1]
Schritt 4.2.1.2.8
Mutltipliziere -10 mit 0.
[350750110]+[-10000-10000-10⋅1]
Schritt 4.2.1.2.9
Mutltipliziere -10 mit 1.
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
Schritt 4.2.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
[3-105+00+07+05-100+01+01+00-10]
Schritt 4.2.3
Simplify each element.
Schritt 4.2.3.1
Subtrahiere 10 von 3.
[-75+00+07+05-100+01+01+00-10]
Schritt 4.2.3.2
Addiere 5 und 0.
[-750+07+05-100+01+01+00-10]
Schritt 4.2.3.3
Addiere 0 und 0.
[-7507+05-100+01+01+00-10]
Schritt 4.2.3.4
Addiere 7 und 0.
[-75075-100+01+01+00-10]
Schritt 4.2.3.5
Subtrahiere 10 von 5.
[-7507-50+01+01+00-10]
Schritt 4.2.3.6
Addiere 0 und 0.
[-7507-501+01+00-10]
Schritt 4.2.3.7
Addiere 1 und 0.
[-7507-5011+00-10]
Schritt 4.2.3.8
Addiere 1 und 0.
[-7507-50110-10]
Schritt 4.2.3.9
Subtrahiere 10 von 0.
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
Schritt 4.3
Find the null space when λ=10.
Schritt 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-75007-50011-100]
Schritt 4.3.2
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
Schritt 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by -17 to make the entry at 1,1 a 1.
Schritt 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -17 to make the entry at 1,1 a 1.
[-17⋅-7-17⋅5-17⋅0-17⋅07-50011-100]
Schritt 4.3.2.1.2
Vereinfache R1.
[1-57007-50011-100]
[1-57007-50011-100]
Schritt 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-7R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Schritt 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-7R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-57007-7⋅1-5-7(-57)0-7⋅00-7⋅011-100]
Schritt 4.3.2.2.2
Vereinfache R2.
[1-5700000011-100]
[1-5700000011-100]
Schritt 4.3.2.3
Perform the row operation R3=R3-R1 to make the entry at 3,1 a 0.
Schritt 4.3.2.3.1
Perform the row operation R3=R3-R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[1-570000001-11+57-10-00-0]
Schritt 4.3.2.3.2
Vereinfache R3.
[1-570000000127-100]
[1-570000000127-100]
Schritt 4.3.2.4
Swap R3 with R2 to put a nonzero entry at 2,2.
[1-57000127-1000000]
Schritt 4.3.2.5
Multiply each element of R2 by 712 to make the entry at 2,2 a 1.
Schritt 4.3.2.5.1
Multiply each element of R2 by 712 to make the entry at 2,2 a 1.
[1-5700712⋅0712⋅127712⋅-10712⋅00000]
Schritt 4.3.2.5.2
Vereinfache R2.
[1-570001-35600000]
[1-570001-35600000]
Schritt 4.3.2.6
Perform the row operation R1=R1+57R2 to make the entry at 1,2 a 0.
Schritt 4.3.2.6.1
Perform the row operation R1=R1+57R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1+57⋅0-57+57⋅10+57(-356)0+57⋅001-35600000]
Schritt 4.3.2.6.2
Vereinfache R1.
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
Schritt 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-256z=0
y-356z=0
0=0
Schritt 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[25z635z6z]
Schritt 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[2563561]
Schritt 4.3.6
Write as a solution set.
{z[2563561]|z∈R}
Schritt 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[2563561]}
{[2563561]}
{[2563561]}
Schritt 5
Schritt 5.1
Setze die bekannten Werte in die Formel ein.
N([350750110]+2[100010001])
Schritt 5.2
Vereinfache.
Schritt 5.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 5.2.1.1
Multipliziere 2 mit jedem Element der Matrix.
[350750110]+[2⋅12⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Schritt 5.2.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Schritt 5.2.1.2.1
Mutltipliziere 2 mit 1.
[350750110]+[22⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Schritt 5.2.1.2.2
Mutltipliziere 2 mit 0.
[350750110]+[202⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Schritt 5.2.1.2.3
Mutltipliziere 2 mit 0.
[350750110]+[2002⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Schritt 5.2.1.2.4
Mutltipliziere 2 mit 0.
[350750110]+[20002⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Schritt 5.2.1.2.5
Mutltipliziere 2 mit 1.
[350750110]+[200022⋅02⋅02⋅02⋅1]
Schritt 5.2.1.2.6
Mutltipliziere 2 mit 0.
[350750110]+[2000202⋅02⋅02⋅1]
Schritt 5.2.1.2.7
Mutltipliziere 2 mit 0.
[350750110]+[20002002⋅02⋅1]
Schritt 5.2.1.2.8
Mutltipliziere 2 mit 0.
[350750110]+[200020002⋅1]
Schritt 5.2.1.2.9
Mutltipliziere 2 mit 1.
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
Schritt 5.2.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
[3+25+00+07+05+20+01+01+00+2]
Schritt 5.2.3
Simplify each element.
Schritt 5.2.3.1
Addiere 3 und 2.
[55+00+07+05+20+01+01+00+2]
Schritt 5.2.3.2
Addiere 5 und 0.
[550+07+05+20+01+01+00+2]
Schritt 5.2.3.3
Addiere 0 und 0.
[5507+05+20+01+01+00+2]
Schritt 5.2.3.4
Addiere 7 und 0.
[55075+20+01+01+00+2]
Schritt 5.2.3.5
Addiere 5 und 2.
[550770+01+01+00+2]
Schritt 5.2.3.6
Addiere 0 und 0.
[5507701+01+00+2]
Schritt 5.2.3.7
Addiere 1 und 0.
[55077011+00+2]
Schritt 5.2.3.8
Addiere 1 und 0.
[550770110+2]
Schritt 5.2.3.9
Addiere 0 und 2.
[550770112]
[550770112]
[550770112]
Schritt 5.3
Find the null space when λ=-2.
Schritt 5.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[550077001120]
Schritt 5.3.2
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
Schritt 5.3.2.1
Multiply each element of R1 by 15 to make the entry at 1,1 a 1.
Schritt 5.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 15 to make the entry at 1,1 a 1.
[5555050577001120]
Schritt 5.3.2.1.2
Vereinfache R1.
[110077001120]
[110077001120]
Schritt 5.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-7R1 to make the entry at 2,1 a 0.
Schritt 5.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-7R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[11007-7⋅17-7⋅10-7⋅00-7⋅01120]
Schritt 5.3.2.2.2
Vereinfache R2.
[110000001120]
[110000001120]
Schritt 5.3.2.3
Perform the row operation R3=R3-R1 to make the entry at 3,1 a 0.
Schritt 5.3.2.3.1
Perform the row operation R3=R3-R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[110000001-11-12-00-0]
Schritt 5.3.2.3.2
Vereinfache R3.
[110000000020]
[110000000020]
Schritt 5.3.2.4
Swap R3 with R2 to put a nonzero entry at 2,3.
[110000200000]
Schritt 5.3.2.5
Multiply each element of R2 by 12 to make the entry at 2,3 a 1.
Schritt 5.3.2.5.1
Multiply each element of R2 by 12 to make the entry at 2,3 a 1.
[1100020222020000]
Schritt 5.3.2.5.2
Vereinfache R2.
[110000100000]
[110000100000]
[110000100000]
Schritt 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+y=0
z=0
0=0
Schritt 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[-yy0]
Schritt 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=y[-110]
Schritt 5.3.6
Write as a solution set.
{y[-110]|y∈R}
Schritt 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-110]}
{[-110]}
{[-110]}
Schritt 6
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[001],[2563561],[-110]}
