حساب المثلثات الأمثلة

$5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$

خطوة 1

ربّع كلا المتعادلين.

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2} = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2

بسّط ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ بالصيغة $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ .

$(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.2

وسّع $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \sin (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $5 \sin (t) (5 \sin (t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

اضرب $5$ في $5$ .

$25 \sin (t) \sin (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.1.1.2

ارفع $\sin (t)$ إلى القوة $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.1.1.3

ارفع $\sin (t)$ إلى القوة $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$25 {\sin (t)}^{1 + 1} + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $5$ في $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $5$ في $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $5 \cos (t) (5 \cos (t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1

اضرب $5$ في $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \cos (t) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.1.4.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.1.4.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.1.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 {\cos (t)}^{1 + 1} = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.1.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.2

أعِد ترتيب عوامل $25 \sin (t) \cos (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.3.3

أضف $25 \cos (t) \sin (t)$ و $25 \cos (t) \sin (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.4.2

أخرِج العامل $25$ من $25 \sin^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل $25$ من $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.4.4

أخرِج العامل $25$ من $25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t))$ .

$25 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$25 \cdot 1 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 2.6

اضرب $25$ في $1$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

خطوة 3

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = 25$

خطوة 4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $t$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $25$ من كلا المتعادلين.

$50 \cos (t) \sin (t) = 25 - 25$

خطوة 4.2

اطرح $25$ من $25$ .

$50 \cos (t) \sin (t) = 0$

خطوة 5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (t) = 0$

$\sin (t) = 0$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\cos (t)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\cos (t)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (t) = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $t$ في $\cos (t) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل جيب التمام.

$t = \arccos (0)$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 6.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 6.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

خطوة 6.2.5

أوجِد فترة $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.6

فترة دالة $\cos (t)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $\sin (t)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $\sin (t)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (t) = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $t$ في $\sin (t) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل الجيب.

$t = \arcsin (0)$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$t = 0$

خطوة 7.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$t = π - 0$

خطوة 7.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$t = π$

خطوة 7.2.5

أوجِد فترة $\sin (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 7.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 7.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 7.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 7.2.6

فترة دالة $\sin (t)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $50 \cos (t) \sin (t) = 0$ صحيحة.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

وحّد الإجابات.

$t = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

تحقق من صحة كل حل من الحلول بالتعويض بها في $5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$ وإيجاد الحل.

$t = π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$