حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = 8 \cos^{2} (x) - 4$

خطوة 1

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور السيني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني، عوّض بـ $0$ عن $y$ وأوجِد قيمة $x$ .

$0 = 8 \cos^{2} (x) - 4$

خطوة 1.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $8 \cos^{2} (x) - 4 = 0$ .

$8 \cos^{2} (x) - 4 = 0$

خطوة 1.2.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$8 \cos^{2} (x) = 4$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $8 \cos^{2} (x) = 4$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $8 \cos^{2} (x) = 4$ على $8$ .

$\frac{8 \cos^{2} (x)}{8} = \frac{4}{8}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 \cos^{2} (x)}{8} = \frac{4}{8}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $\cos^{2} (x)$ على $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{4}{8}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{4 (1)}{8}$

خطوة 1.2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 1.2.5.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 1.2.5.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 1.2.5.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 1.2.5.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 1.2.5.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 1.2.5.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.2.5.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 1.2.5.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.2.5.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.2.5.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.2.5.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.2.5.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 1.2.5.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.2.7

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.2.8

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 1.2.8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.8.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.8.4

بسّط $2 π - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.8.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.8.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 1.2.8.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.4.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

خطوة 1.2.8.4.3.2

اطرح $π$ من $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

خطوة 1.2.8.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.2.8.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.2.8.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.9

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 1.2.9.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 1.2.9.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

خطوة 1.2.9.4

بسّط $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 1.2.9.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 1.2.9.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

خطوة 1.2.9.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.4.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

خطوة 1.2.9.4.3.2

اطرح $3 π$ من $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 1.2.9.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.9.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.9.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.2.9.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.2.9.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.10

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.11

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور الصادي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي، عوّض بـ $0$ عن $x$ وأوجِد قيمة $y$ .

$y = 8 \cos^{2} (0) - 4$

خطوة 2.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 8 \cos^{2} (0) - 4$

خطوة 2.2.2

بسّط $8 \cos^{2} (0) - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$y = 8 \cdot 1^{2} - 4$

خطوة 2.2.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = 8 \cdot 1 - 4$

خطوة 2.2.2.1.3

اضرب $8$ في $1$ .

$y = 8 - 4$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $4$ من $8$ .

$y = 4$

خطوة 2.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 4)$

خطوة 3

اسرِد التقاطعات.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ ، لأي عدد صحيح $n$

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 4)$

خطوة 4