حساب المثلثات الأمثلة

$4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$ , $[0, 2 π)$

خطوة 1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$4 \sin^{2} (x) = 3$

خطوة 2

اقسِم كل حد في $4 \sin^{2} (x) = 3$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $4 \sin^{2} (x) = 3$ على $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

خطوة 2.2.1.2

اقسِم $\sin^{2} (x)$ على $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

خطوة 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

خطوة 4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{3}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 4.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 6

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 7

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 7.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{3}$

خطوة 7.4

بسّط $π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 7.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 7.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 7.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

خطوة 7.4.3.2

اطرح $π$ من $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 7.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 7.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 7.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 7.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 7.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

خطوة 8.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

خطوة 8.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

خطوة 8.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{4 π}{3}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 8.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 8.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 8.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{3}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

خطوة 8.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 8.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 8.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 8.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.4.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

خطوة 8.6.4.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

خطوة 8.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 8.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

ادمج $\frac{π}{3} + 2 π n$ و $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ في $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10.2

ادمج $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ و $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ في $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

أوجِد قيم $n$ التي ينتج عنها وجود قيمة في الفترة $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{π}{3} + π (0)$

خطوة 11.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1

اضرب $π$ في $0$ .

$\frac{π}{3} + 0$

خطوة 11.1.2.2

أضف $\frac{π}{3}$ و $0$ .

$\frac{π}{3}$

خطوة 11.1.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 11.2

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (0)$

خطوة 11.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اضرب $π$ في $0$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

خطوة 11.2.2.2

أضف $\frac{2 π}{3}$ و $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

خطوة 11.2.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

خطوة 11.3

عوّض بـ $1$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ .

$\frac{π}{3} + π (1)$

خطوة 11.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{π}{3} + π$

خطوة 11.3.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 11.3.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.3.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

خطوة 11.3.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π + π \cdot 3}{3}$

خطوة 11.3.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.4.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$\frac{π + 3 \cdot π}{3}$

خطوة 11.3.2.4.2

أضف $π$ و $3 π$ .

$\frac{4 π}{3}$

خطوة 11.3.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

خطوة 11.4

عوّض بـ $1$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (1)$

خطوة 11.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{2 π}{3} + π$

خطوة 11.4.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 11.4.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.3.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

خطوة 11.4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π + π \cdot 3}{3}$

خطوة 11.4.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.4.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$\frac{2 π + 3 \cdot π}{3}$

خطوة 11.4.2.4.2

أضف $2 π$ و $3 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

خطوة 11.4.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$