حساب المثلثات الأمثلة

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

خطوة 1

استبدِل $2 \cos^{2} (x)$ بـ $2 (1 - \sin^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 3

اطرح $1$ من $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - (u) + 1 = 0$

خطوة 5

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 u^{2} - u + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- u$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

خطوة 5.1.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - u - 1 \cdot - 1 = 0$

خطوة 5.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 u^{2}) - u$ .

$- (2 u^{2} + u) - 1 \cdot - 1 = 0$

خطوة 5.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 u^{2} + u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} + u - 1) = 0$

خطوة 5.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اضرب في $1$ .

$- (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

خطوة 5.2.1.1.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 1$ زائد $2$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

خطوة 5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

خطوة 5.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

خطوة 5.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

خطوة 5.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

خطوة 5.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (2 u - 1) (u + 1) = 0$

خطوة 6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u - 1 = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u = 1$

خطوة 7.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

خطوة 8

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 8.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 9

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (2 u - 1) (u + 1) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 10

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 11

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

خطوة 12.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{6}$

خطوة 12.4

بسّط $π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 12.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 12.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 12.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 12.4.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

خطوة 12.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 12.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 12.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 12.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 12.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- 1)$

خطوة 13.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

خطوة 13.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 13.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 13.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 13.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 13.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 13.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 13.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 13.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 13.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 13.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 13.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 13.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 13.6.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 13.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 13.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 15

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 16

أوجِد قيم $n$ التي ينتج عنها وجود قيمة في الفترة $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

خطوة 16.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $2 π (0)$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

خطوة 16.1.2.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

خطوة 16.1.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

خطوة 16.1.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

خطوة 16.1.2.1.1.2.4

اقسِم $2 π \cdot (0)$ على $1$ .

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

خطوة 16.1.2.1.2

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.2.1.2.1

اضرب $0$ في $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

خطوة 16.1.2.1.2.2

اضرب $0$ في $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

خطوة 16.1.2.2

أضف $\frac{π}{6}$ و $0$ .

$\frac{π}{6}$

خطوة 16.1.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

خطوة 16.2

عوّض بـ $1$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

خطوة 16.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

خطوة 16.2.2.2

لكتابة $\frac{2 π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 16.2.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.3.1

اضرب $\frac{2 π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

خطوة 16.2.2.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

خطوة 16.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

خطوة 16.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{π + 4 π}{6}$

خطوة 16.2.2.5.2

أضف $π$ و $4 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

خطوة 16.2.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

خطوة 16.3

عوّض بـ $2$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

عوّض بـ $2$ عن $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

خطوة 16.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

خطوة 16.3.2.2

لكتابة $\frac{4 π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 16.3.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.2.3.1

اضرب $\frac{4 π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

خطوة 16.3.2.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

خطوة 16.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

خطوة 16.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.2.5.1

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{π + 8 π}{6}$

خطوة 16.3.2.5.2

أضف $π$ و $8 π$ .

$\frac{9 π}{6}$

خطوة 16.3.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$\frac{3 (3 π)}{6}$

خطوة 16.3.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

خطوة 16.3.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

خطوة 16.3.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 16.3.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$