حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (θ) > 0$ , $\cos (θ) < 0$

خطوة 1

بسّط المتباينة الأولى.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ > \arcsin (0)$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$θ > 0$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ = π - 0$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.4

اطرح $0$ من $π$ .

$θ = π$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.6

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.7

وحّد الإجابات.

$θ = π n$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.8

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.9

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

اختبر قيمة في الفترة $0 < θ < π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1.1

اختر قيمة من الفترة $0 < θ < π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$θ = 2$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.9.1.2

استبدِل $θ$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (2) > 0$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.9.1.3

الطرف الأيسر $0.90929742$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.9.2

اختبر قيمة في الفترة $π < θ < 2 π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.2.1

اختر قيمة من الفترة $π < θ < 2 π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$θ = 5$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.9.2.2

استبدِل $θ$ بـ $5$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (5) > 0$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.9.2.3

الطرف الأيسر $- 0.95892427$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.9.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$0 < θ < π$ صحيحة

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

$0 < θ < π$ صحيحة

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

خطوة 1.10

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $\cos (θ) < 0$

خطوة 2

بسّط المتباينة الثانية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ < \arccos (0)$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ < \frac{π}{2}$

خطوة 2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

خطوة 2.7

وحّد الإجابات.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ = \frac{π}{2} + π n$

خطوة 2.8

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

خطوة 2.9

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ = 3$

خطوة 2.9.1.2

استبدِل $θ$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $\cos (3) < 0$

خطوة 2.9.1.3

الطرف الأيسر $- 0.98999249$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and True

خطوة 2.9.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $θ = 6$

خطوة 2.9.2.2

استبدِل $θ$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $\cos (6) < 0$

خطوة 2.9.2.3

الطرف الأيسر $0.96017028$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and False

خطوة 2.9.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ خطأ

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ خطأ

خطوة 2.10

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ و $\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$

خطوة 3