حساب المثلثات الأمثلة

$y = e^{x - 1}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = e^{y - 1}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{y - 1} = x$ .

$e^{y - 1} = x$

خطوة 2.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (x)$

خطوة 2.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وسّع $\ln (e^{y - 1})$ بنقل $y - 1$ خارج اللوغاريتم.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

خطوة 2.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $y - 1$ في $1$ .

$y - 1 = \ln (x)$

خطوة 2.4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \ln (x) + 1$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ هي معكوس $f (x) = e^{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (e^{x - 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

خطوة 4.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x - 1$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \ln (e) + 1$

خطوة 4.2.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

خطوة 4.2.3.3

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x - 1 + 1$

خطوة 4.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x + 0$

خطوة 4.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\ln (x) + 1)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{(\ln (x) + 1) - 1}$

خطوة 4.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(\ln (x) + 1) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x) + 0}$

خطوة 4.3.3.2

أضف $\ln (x)$ و $0$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x)}$

خطوة 4.3.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (x) + 1) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ هي معكوس $f (x) = e^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$