حساب المثلثات الأمثلة

$y = \sqrt{4 - x} + 1$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{4 - y} + 1$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{4 - y} + 1 = x$ .

$\sqrt{4 - y} + 1 = x$

خطوة 2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{4 - y} = x - 1$

خطوة 2.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{4 - y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 2.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 - y}$ في صورة ${(4 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

بسّط ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 2.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 2.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(4 - y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 2.4.2.1.2

بسّط.

$4 - y = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

بسّط ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.1

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$4 - y = (x - 1) (x - 1)$

خطوة 2.4.3.1.2

وسّع $(x - 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 - y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

خطوة 2.4.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

خطوة 2.4.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.4.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$4 - y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.4.3.1.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$4 - y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.4.3.1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$4 - y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.4.3.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$4 - y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.4.3.1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$4 - y = x^{2} - x - x + 1$

خطوة 2.4.3.1.3.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$4 - y = x^{2} - 2 x + 1$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- y = x^{2} - 2 x + 1 - 4$

خطوة 2.5.1.2

اطرح $4$ من $1$ .

$- y = x^{2} - 2 x - 3$

خطوة 2.5.2

اقسِم كل حد في $- y = x^{2} - 2 x - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اقسِم كل حد في $- y = x^{2} - 2 x - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$y = - x^{2} - 1 \cdot (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot (- 2 x)$ بالصيغة $- (- 2 x)$ .

$y = - x^{2} - (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.6

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - {(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أعِد كتابة ${(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.2

وسّع $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} (\sqrt{4 - x} + 1) + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1.1

اضرب $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1.1.1

ارفع $\sqrt{4 - x}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.1.2

ارفع $\sqrt{4 - x}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{1 + 1} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.2

أعِد كتابة ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ بالصيغة $4 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 - x}$ في صورة ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((4 - x) + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.2.5

بسّط.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.3

اضرب $\sqrt{4 - x}$ في $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.4

اضرب $\sqrt{4 - x}$ في $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.1.5

اضرب $1$ في $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.2

أضف $4$ و $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.3.3

أضف $\sqrt{4 - x}$ و $\sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + 2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 1 \cdot 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.5.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.5.2

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.5.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + 1 x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.5.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

خطوة 4.2.3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 \cdot 1 + 3$

خطوة 4.2.3.7

اضرب $2$ في $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$

خطوة 4.2.4

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1.1

أضف $- 2 \sqrt{4 - x}$ و $2 \sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 0 + 2 + 3$

خطوة 4.2.4.1.2

أضف $- 5 + x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 2 + 3$

خطوة 4.2.4.2

أضف $- 5$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x - 3 + 3$

خطوة 4.2.4.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 3 + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.3.1

أضف $- 3$ و $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x + 0$

خطوة 4.2.4.3.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (- x^{2} + 2 x + 3)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 - (- x^{2} + 2 x + 3)} + 1$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

خطوة 4.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

اضرب $- - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

خطوة 4.3.3.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

خطوة 4.3.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 3} + 1$

خطوة 4.3.3.2.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 3} + 1$

خطوة 4.3.3.3

اطرح $3$ من $4$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + 1$

خطوة 4.3.3.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}} + 1$

خطوة 4.3.3.4.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 4.3.3.4.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + 1$

خطوة 4.3.3.4.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 1$

خطوة 4.3.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x - 1 + 1$

خطوة 4.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x + 0$

خطوة 4.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$