حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = 3^{x} - 1$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 3^{x} - 1$ في صورة معادلة.

$y = 3^{x} - 1$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 3^{y} - 1$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3^{y} - 1 = x$ .

$3^{y} - 1 = x$

خطوة 3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$3^{y} = x + 1$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (3^{y}) = \ln (x + 1)$

خطوة 3.4

وسّع $\ln (3^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (3) = \ln (x + 1)$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ على $\ln (3)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ على $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ هي معكوس $f (x) = 3^{x} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (3^{x} - 1)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln ((3^{x} - 1) + 1)}{\ln (3)}$

خطوة 5.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $3^{x} - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

خطوة 5.2.3.2

أضف $3^{x}$ و $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

خطوة 5.2.4

وسّع $\ln (3^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

خطوة 5.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

خطوة 5.2.5.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}} - 1$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x + 1)} - 1$

خطوة 5.3.3.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 1 - 1$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ هي معكوس $f (x) = 3^{x} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$