حساب المثلثات الأمثلة

$3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $11$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $3 x^{2} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 3$

$b = 6$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (3)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{3}{3}$

خطوة 1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{3}{3}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = 1$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 3}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $36$ على $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$e = 0 - 3$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $3$ من $0$ .

$e = - 3$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $3 {(x + 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3$

خطوة 1.3

استبدِل $3 x^{2} + 6 x$ بـ $3 {(x + 1)}^{2} - 3$ في المعادلة $3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 + y^{2} - 8 y = 11$

خطوة 1.4

انقُل $- 3$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $3$ إلى كلا الطرفين.

$3 {(x + 1)}^{2} + y^{2} - 8 y = 11 + 3$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $y^{2} - 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 4}{1}$

خطوة 1.5.3.2.2.4

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$d = - 4$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $64$ على $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $16$ .

$e = 0 - 16$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $16$ من $0$ .

$e = - 16$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

خطوة 1.6

استبدِل $y^{2} - 8 y$ بـ ${(y - 4)}^{2} - 16$ في المعادلة $3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = 11 + 3$

خطوة 1.7

انقُل $- 16$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $16$ إلى كلا الطرفين.

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 11 + 3 + 16$

خطوة 1.8

بسّط $11 + 3 + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $11$ و $3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 14 + 16$

خطوة 1.8.2

أضف $14$ و $16$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 30$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $30$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{30} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{30} = \frac{30}{30}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{10} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{30} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = \sqrt{30}$

$b = \sqrt{10}$

$k = 4$

$h = - 1$

خطوة 4

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(\sqrt{30})}^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{30}}^{2}$ بالصيغة $30$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{30}$ في صورة $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

خطوة 4.3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{30^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

خطوة 4.3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

خطوة 4.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

خطوة 4.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{30^{1} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

خطوة 4.3.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{30 - {(\sqrt{10})}^{2}}$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{10}}^{2}$ بالصيغة $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{10}$ في صورة $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{30 - {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{30 - 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{30 - 10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{30 - 10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{30 - 10^{1}}$

خطوة 4.3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{30 - 1 \cdot 10}$

خطوة 4.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $- 1$ في $10$ .

$\sqrt{30 - 10}$

خطوة 4.3.3.2

اطرح $10$ من $30$ .

$\sqrt{20}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

خطوة 4.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{5}$

خطوة 5

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 5.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

خطوة 5.3

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 5.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- 1, 4 - (2 \sqrt{5}))$

خطوة 5.5

بسّط.

$(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

خطوة 5.6

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

خطوة 6