حساب المثلثات الأمثلة

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الزائد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $18$ من كلا المتعادلين.

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $9 x^{2} - 36 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 18}{9}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 18$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$d = - 2$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 36$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $1296$ على $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $36$ .

$e = 0 - 36$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $36$ من $0$ .

$e = - 36$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

خطوة 1.3

استبدِل $9 x^{2} - 36 x$ بـ $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ في المعادلة $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - y^{2} - 6 y = - 18$

خطوة 1.4

انقُل $- 36$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $36$ إلى كلا الطرفين.

$9 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = - 18 + 36$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $- y^{2} - 6 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

خطوة 1.5.3.2.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot - 3$ بالصيغة $- - 3$ .

$d = - - 3$

خطوة 1.5.3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$d = 3$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $36$ على $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$e = 0 + 9$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $0$ و $9$ .

$e = 9$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

خطوة 1.6

استبدِل $- y^{2} - 6 y$ بـ $- {(y + 3)}^{2} + 9$ في المعادلة $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = - 18 + 36$

خطوة 1.7

انقُل $9$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $9$ إلى كلا الطرفين.

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = - 18 + 36 - 9$

خطوة 1.8

بسّط $- 18 + 36 - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $- 18$ و $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 18 - 9$

خطوة 1.8.2

اطرح $9$ من $18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $9$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

خطوة 4

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{1 + 9}$

خطوة 4.3.3

أضف $1$ و $9$ .

$\sqrt{10}$

خطوة 5

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 5.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(2 + \sqrt{10}, - 3)$

خطوة 5.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 5.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(2 - \sqrt{10}, - 3)$

خطوة 5.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(2 + \sqrt{10}, - 3), (2 - \sqrt{10}, - 3)$

خطوة 6